Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện $x^2 + y^2 = 1$

Lập hàm Larrange: $F(x, y, {\lambda}) = 3x + 4y + {\lambda}(x^2+y^2-1)$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} F_x^{'} = 3 + 2{\lambda}.x = 0 \\ 4 + 2{\lambda}.y = 0 \\ x^2 + y^2 = 1 \\ \end{array} \right.$

Từ 2 phương trình đầu, ta rút ra $x = -{ \dfrac{3}{\lambda}} ; y = -{ \dfrac{2}{\lambda}}$ , sau đó thế vào phương trình 3 ta tìm được: $\lambda = \pm { \dfrac{5}{2}}$

– Với ${\lambda} = { \dfrac{5}{2}} : x = -{ \dfrac{3}{5}} ; y = -{ \dfrac{4}{5}} \Rightarrow M \left( -{ \dfrac{3}{5}}; -{ \dfrac{4}{5}} \right)$

– Với ${\lambda} = -{ \dfrac{5}{2}} : x = { \dfrac{3}{5}} ; y = { \dfrac{4}{5}} \Rightarrow N \left( -{ \dfrac{3}{5}}; -{ \dfrac{4}{5}} \right)$

Điều kiện đủ:

Cách 1: ta xét dấu của $d^2F$

– Với ${\lambda} = { \dfrac{5}{2}}$ :

Ta có: ${ \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = 5 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x{\partial}y}} =0 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = 5$

Khi đó: $d^2F = 5(dx^2+dy^2) > 0 , \forall dx,dy: -{ \dfrac{6}{5}}dx-{ \dfrac{8}{5}}dy = 0$

Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại $\left(-{ \dfrac{3}{5}} ; -{ \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực tiểu z = -5.

– Với ${\lambda} = -{ \dfrac{5}{2}}$ :

Ta có: ${ \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = -5 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x{\partial}y}} =0 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = -5$

Khi đó: $d^2F = -5(dx^2+dy^2) < 0 , \forall dx,dy: { \dfrac{6}{5}}dx+{ \dfrac{8}{5}}dy = 0$

Vậy hàm số có cực đại có điều kiện tại $\left({ \dfrac{3}{5}} ; { \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực đại z = 5.

Cách 2: xác định dấu của định thức $\Delta$ :

– Với ${\lambda} = { \dfrac{5}{2}}$ :

Với $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \Rightarrow D = -{ \dfrac{6}{5}}; E = -{ \dfrac{8}{5}}$

Ta có: $A = 5, B = 0, C = 5$

Vậy: $\Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & -{ \dfrac{6}{5}} & -{ \dfrac{8}{5}} \\ -{ \dfrac{6}{5}} & 5 & 0 \\ -{ \dfrac{8}{5}} & 0 & 5 \\ \end{array} \right| = 20$

Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại $\left(-{ \dfrac{3}{5}} ; -{ \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực tiểu z = -5.

– Với ${\lambda} = -{ \dfrac{5}{2}}$ :

Với $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \Rightarrow D = { \dfrac{6}{5}}; E ={ \dfrac{8}{5}}$

Ta có: $A = -5, B = 0, C = -5$

Vậy: $\Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & { \dfrac{6}{5}} & { \dfrac{8}{5}} \\ { \dfrac{6}{5}} & -5 & 0 \\ { \dfrac{8}{5}} & 0 & -5 \\ \end{array} \right| = -20$

Vậy hàm số có cực đại có điều kiện tại $\left({ \dfrac{3}{5}} ; { \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực đại z = 5.

Bài tập giải mẫu: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: $z = x^2+y^2 - xy + x + y - 4$ , với $x + y + 3 = 0 (2)$

Cách 1: Chuyển về hàm 1 biến.

Từ (2) ta có: $y = -x - 3$ . Thế vào hàm số ta có:

$z = x^2 + (x+3)^2 +x(x+3) - 7 = 3x^2 + 9x + 2$

Ta có: $z_x^{'} = 6x + 9 \Rightarrow z_x^{'} = 0 \Leftrightarrow x = -{ \dfrac{3}{2}}$

Lập bảng biến thiên:

$\begin{array}{c|ccccc} x & -{\infty} & \qquad & -{ \dfrac{3}{2}} & \qquad & +{\infty} \\ \hline z' & \qquad & - & 0 & + & \qquad \\ \hline z & +{\infty} & \searrow & -{ \dfrac{19}{4}} & \nearrow & +{\infty} \\ \end{array}$