Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MB

Phương trình cấp một tổng quát có dạng F(x,y,y’) = 0 (I)

Nếu giải ra được đối với y’ thì phương trình có thể viết dưới dạng:

y' = f(x,y) (1)

hoặc: \dfrac{dy}{dx} = f(x,y)

hoặc: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0

Chú ý quan trọng:

– Thông thường, ta nên tìm cách biến đổi phương trình về dạng (1) và phân tích f(x,y) ở vế phải để biết dạng. Đa số, các phương trình đều có thể đưa được về 1 trong 6 dạng sau: phân ly biến số, đẳng cấp (thuần nhất), phương trình đưa về pt đẳng cấp được, pt tuyến tính, pt Bernoulli và pt vi phân toàn phần.

– Nếu từ (1) ta không đưa pt về 1 trong 6 dạng trên được thì thử nghịch đảo phương trình (2) đưa phương trình về dạng x là hàm số theo biến y. Nghĩa là: x' = \dfrac{1}{y'} = { \dfrac{1}{f(x,y)}} = g(x,y) thì sẽ tìm được cách giải.

1. Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu):

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm ptvp: y' = f(x,y) (1) thỏa mãn điều kiện đầu: y(x_0) = y_0 (2)

Nghĩa là: tìm đường cong y = y(x) đi qua điểm (x0;y0) và thỏa mãn pt (1)

2. Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm):

Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền mở D \subset R^2 , thì với mọi điểm (x_0;y_0) \in D , bài toán Cauchy (1), (2) có nghiệm xác định trong 1 lân cận của x0.

Ngoài ra, nếu đạo hàm riêng \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y} cũng liên tục trong D thì nghiệm đó là duy nhất.

(ta công nhận định lý này, vì việc chứng minh vượt quá những kiến thức chúng ta được trang bị)

3. Nghiệm tổng quát:

Nghiệm tổng quát của pt (1) là hàm số \varphi (x,C) = y , phụ thuộc biến x, và hằng số C, và thỏa mãn các điều kiện:

1. Nghiệm đúng ptvp với mọi giá trị cụ thể của C.

2. Với bất kỳ điều kiện đầu y(x_0) = y_0 ta cũng có thể tìm được C = C_0 sao cho hàm số y = {\varphi}(x,C_0) thỏa mãn điều kiện đầu

– Trong quá trình tìm nghiệm: nếu ta đi đến biểu thức {\varphi}(x,y,C) = 0 (*) mà không giải được đối với y thì y là hàm ẩn theo x, C xác định bởi pt (*) và (*) được gọi là tích phân tổng quát.

– Các nghiệm của phương trình không suy ra được từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị.

4. Phương trình phân ly biến số (tách biến)

Là phương trình có dạng:

y' = f(x,y) = g(x).h(y)  (hoặc M(x)dx+N(y)dy=0  )

Nghĩa là: ở vế phải ta gom được x đứng riêng và y đứng riêng (hoặc M(x) chỉ là hàm theo 1 biến số x và N(y) chỉ là hàm theo 1 biến số y)

4.1 Cách giải:

Ta biến đổi như sau: { \dfrac{dy}{dx}} = g(x).h(y) \Rightarrow { \dfrac{dy}{h(y)}} = g(x)dx

Bằng cách lấy tích phân (vế trái theo y, vế phải theo x) ta được nghiệm tổng quát:

\int { \dfrac{dy}{h(y)}} = \int g(x) dx + C

4.2 Ví dụ:

1. Giải phương trình: x(y^2 -1) dx + y(x^2-1)dy = 0 (1)

Chuyển phương trình về dạng (1) ta có:

y' = \dfrac{dy}{dx} = - { \dfrac{x}{x^2-1}}.{ \dfrac{y^2 - 1}{y}} , x^2 -1 \ne 0 , y^2 - 1 \ne 0 (2)

Vậy: x tách riêng, và y tách riêng nên đây là phương trình tách biến.

Khi đó ta có:

{ \dfrac{ydy}{y^2-1}} = -{ \dfrac{xdx}{x^2 -1}} \Rightarrow \int { \dfrac{ydy}{y^2-1}} = - \int { \dfrac{xdx}{x^2 -1}}

\Rightarrow{ \dfrac{1}{2}}ln|y^2-1| = -{ \dfrac{1}{2}}ln|x^2-1| + lnC

Ở đây do 2 vế đều có chứa ln nên thay vì ta chọn hằng số C thì ta chọn hằng số là lnC để dễ dàng rút gọn

Vậy nghiệm phương trình: ln{\sqrt{y^2-1}} = ln \left|{ \dfrac{C}{\sqrt{x^2-1}}} \right|

Hay: (x^2-1).(y^2 -1) = C^2

2. Giải phương trình tgydx-xlnxdy=0

Ta có: y' = { \dfrac{dy}{dx}} = { \dfrac{tgy}{xlnx}} (phương trình tách biến)

Do đó: { \dfrac{dy}{tgy}} = { \dfrac{dx}{xlnx}}

Suy ra: \int { \dfrac{dy}{tgy}} = \int { \dfrac{dx}{xlnx}} \Rightarrow ln(sinx) = ln(lnx) + lnC \Rightarrow siny = C.lnx

Bài này, ta cần xét thêm trường hợp tgy = 0.

3. Ví dụ tự giải: { \dfrac{4+y^2}{\sqrt{x^2+4x+13}}} = { \dfrac{3y+2}{x+1}}y'

4.3 Nhận xét:

Phương trình dạng y' = f(ax+by+c)

có thể đưa về phương trình tách biến bằng cách đổi qua ẩn hàm mới z = ax+by+c

Thật vậy, ta có: z' = a + by' \Rightarrow z' = a+bf(z)

Vậy vế phải là biểu thức chỉ phụ thuộc z. Nghĩa là z tách riêng và x tách riêng nên nó là phương trình tách biến.

5. Phương trình đẳng cấp:

– Hàm F(x,y) được gọi là hàm đẳng cấp bậc k nếu:

với mọi λ > 0, ta có: F({\lambda}x,{\lambda}y) = {\lambda}^k F(x,y)

– Ví dụ: Các hàm \dfrac{x-y}{2x+y} , { \dfrac{x^2-2xy}{x+y}} , x^3 - 3x^2y + y^3 lần lượt là các hàm đẳng cấp bậc 0, bậc 1, bậc 3. Hàm \dfrac{x+y^2}{x^2-y^2} không là hàm đẳng cấp

5.1 Phương trình vi phân đẳng cấp: Phương trình y' = f(x,y) được gọi là phương trình đẳng cấp nếu: f(x,y) là hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là f(x,y) = f(tx,ty)

– Lưu ý: một số giáo trình gọi tên dạng phương trình này là phương trình thuần nhất

– Nhận xét: Giả sử y' = f(x,y) = \dfrac{M(x,y)}{N(x,y)} (1) thì để (1) là phương trình đẳng cấp thì tất cả mọi số hạng có trong M(x,y) và N(x,y) phải cùng bậc.

– Ví dụ: phương trình: y' = \dfrac{2xy}{x^2+y^2} là phương trình đẳng cấp vì các số hạng đều là bậc 2. Phương trình: y' = \dfrac{y+{\sqrt{x^2-y^2}}}{x} là phương trình đẳng cấp vì y, \sqrt{x^2-y^2} , x đều là các số hạng bậc 1.

5.2 Cách giải:

Theo định nghĩa pt đẳng cấp ta có: f(tx,ty) = f(x,y) . Chọn t = \dfrac{1}{x} (x \ne 0) thì pt (1) có dạng:

y' = f(x,y) = f\left(1;{ \dfrac{y}{x}} \right)  (*)

Vế phải của pt (*) là 1 biểu thức luôn phụ thuộc y/x . Do vậy: y' = f \left(1;{ \dfrac{y}{x}} \right) = \varphi \left( { \dfrac{y}{x}} \right) (5)

Đặt u = \dfrac{y}{x} \Rightarrow y = u.x \Rightarrow y' = u + x.u'

Thế vào phương trình (5) ta có: x.u' = {\varphi}(u) - u

– Th1: Nếu {\varphi}(u) - u = 0

Khi đó: {\varphi} \left({ \dfrac{y}{x}} \right) = { \dfrac{y}{x}}

Do đó pt (5) trở thành: y' = \dfrac{y}{x} \Rightarrow \dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x} \Rightarrow y = Cx

– Th2: Nếu {\varphi}(u) - u \ne 0

Khi đó: \dfrac{du}{{\varphi}(u)-u} = { \dfrac{dx}{x}} : pt tách biến.

5.3 Ví dụ: Giải phương trình vi phân: y' = \dfrac{x+y}{x-y}

Rõ ràng đây là phương trình đẳng cấp. Ta viết lại phương trình như sau:

y' = \dfrac{x+y}{x-y} = { \dfrac{1+{ \dfrac{y}{x}}}{1-{ \dfrac{y}{x}}}}

Đặt: u = \dfrac{y}{x} . Ta có: y' = u'.x+u , và thay vào phương trình ta có:

u'.x+u = \dfrac{1+u}{1-u} \Rightarrow { \dfrac{1-u}{1+u^2}}du = \dfrac{dx}{x}

Lấy tích phân 2 vế ta được:

\int { \dfrac{du}{1+u^2}} - \int { \dfrac{udu}{1+u^2}} = ln|x| + lnC

\Rightarrow arctgu - { \dfrac{1}{2}}ln(1+u^2) = lnC|x|

Hay: arctgu = lnC|x|{\sqrt{1+u^2}}

Vậy nghiệm của phương trình có dạng: C(x^2+y^2) = e^{arctg(y/x)}

23 responses to “Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1

  1. trang web này thật bổ ích cho những người học toán
    cám ơn những thành viên đã lập ra trang này

    • Bài này em chỉ cần đặt u = 2x + 3y + 1. Khi đó: u’ = 2 + 3y’ Thế vào pt em có: u' = 2 + 3u^2 , đây là phương trình phân ly biến số (pt tách biến)

  2. Thầy ơi, nếu với bài này, giải phương trình:(y+căn(x*y))dx=xdy, em giải là:
    phương trình đã cho tương đương với: dy/dx=(y+căn(xy))/x (2), đặt y=xz, suy ra dy=xdz+zdx,phương trình (2)(xdz+zdx)/dx=(xz+căn(x^3*z))/x. Đến đây thì em giải được rồi. Nhung em muốn hỏi là khi đưa x ra ngoài có phải đóng tri tuyệt đối không ạ. Nếu có thì tức là phải giải 2 trường hợp ạ?

    • Theo đúng nguyên tắc thì em phải giải 2 trường hợp. Tuy vậy, ở đây có thể lược bớt, chỉ xét x dương cũng được. Vì khi x âm, thì công thức nghiệm hoàn toàn tương tự.

    • Em có: y’.cosy + siny= x.
      Nhận xét: y’.cosy =(siny)’ nên ta đặt z = siny. Suy ra: z’ = y’.cosy.
      Vậy em có: z’ + z = x (pt tuyến tính cấp 1)

  3. Thầy ơi, giải giúp em bài này😦, em hok biết cách làm, dạng lạ lắm😦
    y’ = cos(x-y)

  4. Em giải bài này thầy coi có đúng không
    đề bài: giải phương trình vi phân: y'= \dfrac{1}{x+2y-3} (1)
    đặt u=x+2y-3 \Rightarrow u'=1+2y'.
    Từ đó,phương trình (1) trở thành: \dfrac{u'-1}{2}= \dfrac{1}{u}
    \Rightarrow u'= \dfrac{2}{u} +1 \Rightarrow u = 2*lnu + u + C (*)
    Thế u=x+2y-3 vào kết quả trên, ta được nghiệm tổng quát của pt(1) là :x+2y-3=2*ln(x+2y-3) +x+2y-3+C

    • Em đã sai từ chỗ (*) trở đi. Em có u' = \dfrac{2}{u} +1 = \dfrac{2+u}{u} \Rightarrow \dfrac{du}{dx} = \dfrac{2+u}{u} \Rightarrow \dfrac{u}{u+2} du = dx (phương trình tách biến). Điều kiện: u \ne 2
      Em lưu ý: y' = y thì không thể suy ra: y = \dfrac{y^2}{2} + C mà phải là \dfrac{dy}{y} = dx \Rightarrow ln|y| = x + lnC \Rightarrow y = C.e^x

      • Ôi, cảm ơn thầy nhiều, ko có thầy chắc em tiêu bài kiểm tra sắp tới😀

    • đây là phương trình vi phân toàn phần, đặt P=(x+y+1) còn Q=(x-y^2+3) nhận thấy p, q là liên tục và P’y = Q’x =>có 1 hàm u(x,y)=nguyên hàm…….

  5. thầy ơi em gần thi rùi, mong thầy giải dùm em bài này đc k ạh:
    (x-1).y”.y’ = x.(x-1)^2, với điều kiện y(2)=1, y’(2)=-1
    lúc đầu em đặt y’=z (z là hàm theo x)rồi tính,thì được: (y’)^2 = 2x^3/3 – x^2 + C
    nhưng sau đó gặp cái (y’)^2 thì bí không lấy nguyên hàm đc, thầy ơi giúp em với
    em cám ơn thầy nhiều ạh

  6. Mọi người giúp mình bài này chút
    1./Tìm nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho:
    a./ y’tanx= a+y , y(pi/3)=a , 0<x<pi/2
    b./ dL/dt=k.L^2.ln(t), L(1)=-1.
    Note: giải theo phương pháp phương trình tách biến.

  7. thay oi chi e bai nay voi
    tim nghiem cua cac phuong trinh dao ham rieng sau :
    a) Ux – Uy = 0
    b) Uxy – U = 0
    c) Ux – y.Uy = 0
    cam on thay nhieu

  8. Thầy ơi, em bị bí bài này thầy giải giúp em với ạ: Xét PTVP (y^2-2xy)dx+(x^2-5xy)dy=0.
    Khẳng định nào sau đây dúng:
    1.PTVP dẳng cấp
    2. PTVP Bernoulli
    3.PTVP tách biến
    4.PTVI tuyến tính

    • Để tìm dạng ptvp, em cứ biến đổi về dạng: y' = f(x,y) . Sau đó, phân tích f(x,y) để tìm ra dạng của nó.
      Ở đây, em có \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2xy-y^2}{x^2-5xy}
      Tất cả số hạng ở vế phải đều có bậc là 2 nên f(x,y) = f(tx,ty) . Vậy nó là dạng pt gì chắc em đã nhận ra.

  9. em thắc mắc tại sao ở vd 5.3 thầy không xét TH x=0 với x#0 ??????
    Thầy có thể giải thích rõ tại sao không xét không

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s