Chuỗi Fourier Sine và Cosine

Khai triển Fourier của hàm số trên nửa đoạn [0; π]

Để tìm được khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0; π] ta có thể thác triển hàm f(x) trên cả đoạn {[- \pi ; \pi ]} , rồi sử dụng công thức đã có ở phần khai triển Fourier cho hàm số trên đoạn {[- \pi ; \pi ]} .

Thông thường có 3 cách thác triển:

1. Thác triển chẵn: (khai triển thành chuỗi Fourier cosin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

2. Thác triển lẻ: (khai triển thành chuỗi Fourier sin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ - f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

3. Thác triển tự do:

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Khi đó, khai triển Fourier của hàm số g(x) trên đoạn [0 ; π ] chính là khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0 ; π ]

Ví dụ: Tìm khai triển Fourier và khai triển Fourier theo các hàm số cosin, sin của hàm số f(x) = 1 , 0 \le x \le \pi

1. Thác triển Fourier thông thường:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} ) = { \dfrac{1}{2}}

a_{n} = { \frac{1}{\pi}} { \int_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.cos(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.sin(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n} - 1}{n}} \Big ) .

Vậy:

a_{0} = { \dfrac{1}{2}} , a_{n} = 0 , b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{2}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim { \dfrac{1}{2}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{{ \dfrac{2}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)}

2. Thác triển Fourier cosin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 1

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} \Big ) = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) = 0 , \forall n \ge 1

Vậy: a_{0} = 1 , a_{n} = 0 , b_{n} = 0

Nên khai triển Fourier cosin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim 1

3. Thác triển Fourier sin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ -1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} -1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 0

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = 0, \forall n \ge 1

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}}{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}}{ \int\limits_{0}^{\pi} sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} \\ \qquad = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n}}{n}} + { \dfrac{1^{n}}{n}} \Big )

Vậy: a_{n} = 0 , \forall n ; b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{4}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier sin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{4}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)

pic06.gif

7 responses to “Chuỗi Fourier Sine và Cosine

  1. Thưa thầy sao trong blog của em ,em đã chọn chế độ reading summary nhưng sao khi post bài nó cứ hiện full text dzậy thầy .

    • Chế độ reading summary chỉ có hiệu lực khi em click vào 1 category bất kỳ. Khi đó nó mới hiện các bài viết trong mục đó dưới dạng summary.

      Còn trang home, nếu em chọn chế độ Show new post thì nó vẫn hiện toàn bộ bài viết. Nếu em muốn ngắt trang bài viết để người đọc muốn theo dõi tiếp phải nhấn readmore thì trong quá trình soạn thảo bài viết, em đặt con trỏ ở đầu đoạn cần ngắt rồi nhấn vào nút Insert More Tags (nút hình trang giấy bị đứt đôi có đoạn kẻ nét đứt ở giữa), hoặc trong thẻ HTML em đặt đoạn code ở đầu đoạn cần ngắt.

  2. Em chào thầy! Thầy cho em hỏi về tích phân Fourier, em tìm tài liệu trên mạng và trong sách thì thấy có 2 dạng công thức (link: http://vi.wikipedia.orghttp://dangtuanhiep.files.wordpress.com/2008/10/ch8.pdf ) nhưng em thấy hai công thức này không trùng với nhau ( không biết em có hiểu sai không)?
    Tìm chuỗi và tích phân Fourier có phải là biến đổi Fourier rời rạc và liên tục không thầy?
    Học trò cũ :))

  3. Em chào thầy! Thầy ơi, em muốn hỏi thầy một bài khai triển Fourier nhưng em không biết làm sao để đánh công thức ở đây. Thầy chỉ cho em cách làm được không ạ? Em cảm ơn thầy nhiều.

  4. thanks! e đang gặp khó khăn trong bài giải giờ đọc bài này e hiểu rất nhiều. cám ơn thầy!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s