Định thức (Determinants)

(Bài này tiếp cận khái niệm định thức theo cách không chính quy nhằm tránh đề cập đến khái niệm phép thế, vốn là một khái niệm khá khó hiểu đối với những ngành ứng dụng, không chuyên Toán)

I. Các khái niệm cơ bản về định thức:

1. Định nghĩa định thức: Cho A = (a_{ij}) \in M_n(K) . Định thức ma trận A (ký hiệu det A hay |A|) là 1 giá trị được tính bởi công thức :

det(A) = |A| = a_{11}A_{11} + a_{12}.A_{12} + ... + a_{1n}.A_{1n}

trong đó: A_{ik} = (-1)^{i+k} .det(M_{ik}) , M_{ik} là ma trận vuông cấp n – 1 nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k. Đại lượng A_{ik} được gọi là phần bù đại số của a_{ik}

2. Nhận xét:

A = (a_{11}) \Rightarrow det A = a_{11}

A \in M_2(K):

detA = { \left | \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right | } = a. (-1)^{1+1}.d + b.(-1)^{1+2}.c = ad - bc

A \in M_3(K):

detA = { \left | \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \right | } = a.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{cc} e & f \\ h & i \\ \end{array} \right | } + b.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{cc} d & f \\ g & i \\ \end{array} \right |} \\+c(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{cc} d & e \\ g & h \\ \end{array} \right|} = a(ei-hf) - b(di-fg)+c(dh-eg) \\ = (aei+bfg+cdh)-(ahf+bdi+ceg)

– Từ kết quả trên ta có quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3 như sau:

Quy tắc Sarrus
Quy tắc Sarrus

Ví dụ 1:

detA = { \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right | } = 2.1.2+3.2.1+3.4.1-1.1.1-2.4.2-3.3.2 \\ = -13

det1

Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn có 1 quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3:

– Ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình.


A \in M_4(K) : không có quy tắc tính như định thức cấp 2 và định thức cấp 3, mà phải dùng định nghĩa để tính trực tiếp.

Ví dụ 2:

detA = { \left | \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 2 &-1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }

= 1.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } + 3.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } \\ +0.(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }+2.(-1)^{1+4}{ \left | \begin{array}{ccc} 4& 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{array} \right | }

(các bạn tính tiếp nhé)

3. Định lý:

Với ma trận vuông cấp n n \ge 2 ta có thể khai triển định thức của nó theo 1 dòng bất kỳ hoặc 1 cột bất kỳ theo các công thức sau:

– Theo dòng i: det(A) = |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}.A_{i2} + ... + a_{in}.A_{in}

– Theo cột j: det(A) = |A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}.A_{2j} + ... + a_{nj}.A_{nj}

Với A_{ij} là phần bù đại số của phần tử a_{ij} được xác định như trên

Ví dụ: Tính

detA = { \left | \begin{array}{cccc} 2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right | }

Nhận thấy dòng 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nến ta khai triển theo dòng 2. Ta có:

detA = 2.(-1)^{2+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right| } + 1.(-1)^{2+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right| }

Vậy: detA = -2(30+6-12-8) - (16+16-40-4) =-20

Ngoài ra, ta cũng nhận thấy cột 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nên ta cũng có thể khai triển theo dòng 2. Ta có:

detA = 2.(-1)^{2+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right| } + 1.(-1)^{2+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right| }

Vậy: detA = -2(30+8-8-20)+(4+24-16-12)=-20

Nhận xét: Giá trị của định thức của ma trận A là duy nhất.

56 responses to “Định thức (Determinants)

  1. Thầy ơi, thế còn tính định thức bằng phương pháp truy hồi thì làm thế nào ạ?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s