Khái niệm về ánh xạ tuyến tính

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-13S

1. Định nghĩa:

Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ f: V \to W gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:

(L1): f(x+y) = f(x) + f(y), \forall x,y \in V (tính bảo toàn phép cộng)

(L2) f({\lambda}x = {\lambda}f(x) , \forall x \in V, \forall {\lambda} \in K (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)

Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V.

– Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:

f: V \to W là ánh xạ tuyến tính \Leftrightarrow f({\alpha}x+{\beta}y)={\alpha}f(x)+{\beta}f(y) , \forall x,y \in V , \forall \alpha , \beta \in K

2. Tính chất:

Cho f: V \to W là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:

1. f(0_V) = 0_W

2. \forall x \in V, f(-x) =-f(x)

Chứng minh:

1. Ta có: 0_V = 0_V + 0_V \Rightarrow f(0_V) =f(0_V+0_V) = f(0_V) +f(0_V)

Suy ra: f(0_V) -f(0_V) = f(0_V) (*)

Mặt khác: f(0_V) - f(0_V) = 0_W (**)

Do đó, từ (*), (**) ta có: f(0_V) = 0_W

2. Ta có: 0_W = f(0_V) = f(x +(-x)) = f(x) + f(-x)

3. Các ví dụ:

3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: O: V \to W , x \mapsto O(x) = 0_W là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.

3.2: Ánh xạ đồng nhất id_V: V \to V , x \mapsto id_V(x) = x , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.

3.3 Phép lấy đạo hàm R[x] \to R[x], p(x) \mapsto p'(x) là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.

3.4 Phép lấy tích phân xác định:

\begin{array}{ccc} C[a,b] & \longrightarrow & R \\ f(x) & \mapsto & \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \\ \end{array}

là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R.

3.5: Cho điểm (x,y) \in R^2 . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: R: R^2 \to R^2 , (x,y) \mapsto (-x,y) là một phép biến đổi tuyến tính.

4. Tính chất:

4.1 Ánh xạ tích gf: V \to V'' của 2 ánh xạ tuyến tính f: V \to V' g: V' \to V'' lại là 1 ánh xạ tuyến tính.

4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.

Nghĩa là: f: V \to W là 1 ánh xạ tuyến tính và \{x_1,x_2, ... , x_n \} là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ \{f(x_1),f(x_2), ... , f(x_n) \} cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.

Ngược lại, nếu hệ \{f(x_1),f(x_2), ... ,f(x_n) \} là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ \{x_1,x_2, ... , x_n \} độc lập tuyến tính trong V.

Chứng minh: Do x_1, x_2, ... , x_n phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một {\lambda}_i \ne 0 sao cho:

{\lambda}_1x_1 + {\lambda}_2x_2 + ... + {\lambda}_nx_n = 0_V

Suy ra: f({\lambda}_1x_1+{\lambda}_2x_2+ ... +{\lambda}_nx_n = f(0_V) = 0_W

Hay: {\lambda}_1f(x_1)+{\lambda}_2f(x_2)+ ... +{\lambda}_nf(x_n) = 0_W (*)

Vậy tồn tại ít nhất một {\lambda}_i \ne 0 sao cho (*) xảy ra nên hệ \{f(x_1),f(x_2),...,f(x_n) \} phụ thuộc tuyến tính.

Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.

5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:

5.1 Ví dụ mở đầu:

Cho L: R^2 \to R^4 là một ánh xạ tuyến tính với:

L(1,1) = (-1,1,2,3)

L(-1,1)=(2,0,2,3)

Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)?

Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1).

Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1)

Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1)

Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)

Tương tự: (x,y) = \dfrac{x+y}{2} (1, 1) + \dfrac{-x+y}{2}(-1,1)

Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y).

Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ {(1, 1) , (-1, 1)} là cơ sở của R^2

5.2 Định lý:

Cho một cơ sở B =(e_1, e_2, ... , e_n) (n \ge 1) của không gian vec-tơ n chiều V và w_1, w_2, ... , w_n là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f: V \to W sao cho f(e_i) = w_i ; i = \overline{1;n}

Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.

Chứng minh:

– Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:

x = x_1e_1 + x_2e_2 + x_ne_n

Ta đặt: f(x) = x_1w_1+x_2w_2 + ... + x_n w_n

Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên f(e_i) = w_i

Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: x = \sum\limits_{i=1}^n x_ie_i ; y = \sum\limits_{i=1}^n y_ie_i .

Ta cần chứng minh: f({\lambda}x +{\mu}y) = {\lambda}f(x)+{\mu}f(y)

Thật vậy, ta có:

{\lambda}x + {\mu}y = \sum\limits_{i=1}^n ({\lambda}x_i + {\mu}y_i)e_i

Do đó:

f({\lambda}x+{\mu}y) = \sum\limits_{i=1}^n ({\lambda}x_i+{\mu}y_i)v_i) = {\lambda} \sum\limits_{i=1}^nx_iv_i + {\mu} \sum\limits_{i=1}^n y_iv_i = {\lambda}f(x) + {\mu}f(y)

Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.

– Sự duy nhất:

Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính g: V \to W g(e_i) = v_i ; i = \overline{1,n}

Khi đó: với mọi x = \sum\limits_{i=1}^n x_ie_i \in V ta có:

g(x) = g\left(\sum\limits_{i=1}^n x_ie_i \right) = \sum\limits_{i=1}^n x_ig(e_i) = \sum\limits_{i=1}^n x_iv_i = f(x)

Vậy f = g, hay f duy nhất.◊

5.3 Các ví dụ:

5.3.1 Trong R^3 xét cơ sở chính tắc C(3) = \{e_1=(1,0,0); e_2=(0,1,0) ; e_3 = (0,0,1) và trong R^2 cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính f: R^3 \to R^2 sao cho: f(e_i) = v_i ; i = 1, 2, 3

5.3.2 Trong không gian R^3 cho hai hệ vec-tơ:

u_1 = (1, 2, 3) , u_2 = (2, 3, 1) , u_3 = (3, 1, 2)

v_1 = (1, 1, 0) , v_2 = (0, 1, 1) , v_3 = (1, 3, 2)

Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên R^3 sao cho f(u_i) = v_i ; i =1, 2, 3 (g(v_i) = u_i ; i = 1, 2, 3 ). Nếu có, hãy xác định f (g)?

6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính:

6.1 Định nghĩa:

Cho f: V \to W là ánh xạ tuyến tính.

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

ker(f) = \{v \in V: f(v) = 0_W \}

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

Im(f)= \{w \in W| \exists v \in V: f(v) = w \}

Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạngsố khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )

6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:

\begin{array}{rcl} R^3 & \longrightarrow & R^3 \\ (x, y, z) & \mapsto & (x-y-z, x+y+z, z) \\ \end{array}

Xác định kerf và imf?

3 responses to “Khái niệm về ánh xạ tuyến tính

  1. cần viết trực quan. sát vấn đề, nên nêu nhiều ví dụ theo nhiều hình thức.
    viết như vậy còn quá sơ sài. cần bổ sung, chỉnh sửa cho phù hợp với chương trình giáo dục hiện tại!
    nhưng cũng cám ơn bạn vì đã có một bài viết cho toán học việt nam.

  2. thầy ơi em cảm thấy phần này rất khó hiểu thầy cho em vài lời khuyên được ko ạ

  3. thầy có thể cho em một vài bài tập có lời giải của phần nhân ảnh được không tại phần này em đọc mà không hiểu rỏ được.Em cảm ơn thầy nhiều

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s