Vô cùng bé (infinitesimal)

1. Định nghĩa:

Hàm \alpha (x) được gọi là lượng vô cùng bé (infinitesimal – VCB) khi x\to {{x}_{0}} nếu \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\,\alpha (x)=0

Ví dụ: x^m , sinx , {\tan}x , ln(1+x) , 1 - \cos x là các VCB khi x\to 0 .

Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x\to \infty thay vì quá trình x\to {{x}_{0}} .

Quy ước: quá trình x\to \infty thay x\to {{x}_{0}} ta gọi chung là trong 1 quá trình.

2 Định lý:

Trong 1 quá trình, f(x)\to L khi và chỉ khi {\alpha}(x) = f(x) - L là VCB trong quá trình đó.

3 Tính chất: Trong 1 quá trình:

1. Nếu {\alpha}(x) là VCB, C là hằng số thì C.{\alpha}(x) là VCB.

2. Nếu {{\alpha}_{1}}(x), {{\alpha}_{2}}(x), {{\alpha}_{3}}(x), ..., {{\alpha }_{n}}(x) là một số hữu hạn các VCB thì tổng {{\alpha }_{1}}(x)+ {{\alpha }_{2}}(x)+ … + {{\alpha }_{n}}(x) cũng là VCB.

3. Nếu \alpha (x) là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích {\alpha}(x).f(x) cũng là VCB.

4. So sánh hai lượng VCB:

Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.

Giả sử \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f(x)}{g(x)}= k

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: f = {\theta}(g) (hoặc f = 0(g) )

Nếu k = {\pm}{\infty} thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu g = {\theta}(f)

Nếu k \ne 0, k \ne \pm \infty thì f, g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k = 1 thì ta nói f, g là VCB tương đương. Ký hiệu: f \sim g

Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f , và g không so sánh được với nhau .

Ví dụ:

1. 1-cosx , x^2 là hai VCB ngang cấp khi x \to 0 .

2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x \to 0 .

5. Các VCB bé tương đương cần chú ý:

Nếu x \to 0 thì:

{\sin}x \sim x , {\tan}x \sim x , 1 - \cos x \sim { \dfrac{1}{2}}x^2 ; {\arcsin}x \sim x

(e^x-1) \sim x , ln(1+x) \sim x , \left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^a} - 1} \right] \sim ax

6. Khử dạng vô định:

6.1 Tính chất 1:

Nếu \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f}{g}=k , f \sim f_1; g \sim g_1 thì \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{{{f}_{1}}}{{{g}_{1}}}= k

Chứng minh

Thật vậy: \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, \dfrac{f}{g} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f}{f_1}}.{ \dfrac{f_1}{g_1}}.{ \dfrac{g_1}{g}} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f_1}{g_1}}

Ví dụ: \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+2x)}{{{e}^{3x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{2x}{3x}= \dfrac{2}{3}

6.2 Tính chất 2:

Nếu {\alpha}(x) = \theta({\beta}(x)) trong 1 quá trình thì {\alpha}(x)+ {\beta}(x) \sim {\beta}(x) .

Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn.

Ví dụ:

1.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{1-\cos 5x}{{{\sin }^{2}}2x}

2. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-3x)}{tg2x}

3. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{x+{{\sin }^{2}}x+t{{g}^{3}}x}{2x+{{x}^{3}}+4{{x}^{5}}}

4. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+tgx)}{x+{{\sin }^{3}}x}

5. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-2x{{\sin }^{2}}x)}{\sin {{x}^{2}}.tgx}

145 responses to “Vô cùng bé (infinitesimal)

  1. Thưa thầy nếu ta có lim(x->+ vô cùng) của hàm số sin(2/x)=0 thì ta có thể sử dụng công thức vô cùng bé tương đương được không?

  2. Thầy ơi thầy giải giup em bai nay duoc không a.
    Tìm lim(e^-x)sin2x khi x tiến ra dương vô cùng
    em cảm ơn thầy a

    • Khi x tiến ra vô cùng thì sin2x không tồn tại giới hạn. Do đó, với dạng toán này, ta chỉ có thể sử dụng định lý giới hạn kép.
      Ta có: 0 \le \left| \dfrac{sin2x}{e^x} \right| \le \dfrac{1}{e^x}
      Từ đó, em dễ dàng có được kết quả cho giới hạn cần tính.

  3. Em chào thầy!
    Thầy ơi, thầy cho em hỏi? Những trường hợp nào không được áp dụng VCB để tính giới hạn? ( VCB tương đương được phép thay vào tích/thương nhưng không được tuỳ tiện thay vào tổng/hiệu )chỗ này em chưa hiểu, thầy có thể gửi những ví dụ về những trường hợp này giúp em hiểu rõ hơn được không ạ?
    Em cám ơn thầy

  4. Em mới học định nghĩa vô cùng bé, em muốn hỏi cách chứng minh 2x^2 – 3x + 1 là một VCB khi x tiến đến 1 thì làm như thế nào để tìm số delta ạ

  5. thay oi mong thay chi cho em cach chung minh tinh chat:”tich cua 1 dai luong vo cung be va 1 ham bi chan la 1 vo cung be”

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s