Chuỗi Fourier

1. Các kết quả:

Biểu thức Toán học:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx))}  (1)

được gọi là chuỗi Fourier nếu (1) hội tụ.

1.1 Định nghĩa. Một đa thức Fourier là biểu thức có dạng:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx)).}

Các hệ số a0, aibi, i = 1,2,…, n, được gọi là hệ số của Fn(x).

Đa thức Fourier là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản ta có:

img6.gif

Chúng ta có thể chứng minh dễ dàng các công thức sau:
(1) Với n ≥ 0, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)} \, dx = 0\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)} \, dx = 0

(2) Với mọi m , n ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(3) Với n ≠ m, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).cos(mx)} \, dx = 0\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(4) Với n ≥ 1, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx)} \, dx = \pi \int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin^{2}(nx)} \, dx = \pi

Sử dụng các công thức trên, chúng ta có kết quả sau:

1.2 Định lý: Cho

F_n(x) = a_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)).}

Ta có:

img16.gif

Định lý trên giúp ta có thể tìm được hệ số Fourier của các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π.


2. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier:

Định nghĩa. Cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π và khả tích trên đoạn [- π ; π]. Đặt:

img18.gif

Khi đó, chuỗi lượng giác:

a_0 + \sum {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}

được gọi là khai triển Fourier của hàm số f(x) tương ứng. Ký hiệu:

F_n(x) \sim a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}

24 responses to “Chuỗi Fourier

  1. Thưa thầy sao giáo trình ở trường em có công thức Ao là Ao=1/p …(p=T/(2pi)) chứ ko như công thức của thầy Ao= 1/(2pi))…Xin thầy giải thích

    • Em chú ý xem lại 2 công thức xác định hệ số a0, an, bn là trong trường hợp hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2{\pi} (tức khai triển trên đoạn [-{\pi};{\pi}] hay là tuần hoàn với chu kỳ T (tức là khai triển trên đoạn [-T;T]) nhé.

  2. Ah em biết rồi công thức khai triển fourier ở trường em là f(t)=a0/2 +…. còn ở công thức cúa thầy đã chia 2 từ lúc tính a0. Em cảm ơn thầy. Sẵn đây em cũng xin hỏi thầy cách biến đổi fourier f(t)=/\(t/T) ra F(W) như thế nào ? (trong cuốn giáo trình của em có chỉ là dùng Định Lý Vi Phân miền thời gian nhưng em tính hoài cũng ko ra )

    • Vì phần xây dựng biến đổi Fourier khá dài, nên Thầy sẽ viết ở 1 trang riêng. Do đó, trước mắt, em có thể xem thêm trong giáo trình Toán Cao cấp 4 – Phần chuỗi và phương trình vi phân – của trường ĐH Bách Khoa TpHCM, do Thầy Đỗ Công Khanh làm chủ biên nhé

  3. Thầy ơi, thầy giúp em giải thích kĩ hơn phần tổng của những điểm gián đoạn tại sao lại có F(1), F(pi/2) với

  4. Thưa thầy, cho em hỏi cách làm Khai triển chuỗi Fourier trên 1 khoảng ạ?
    VD: Khai triển hàm f(x)= sinx, 0<x<pi thành chuỗi Fourier Cosine
    Thầy làm mẫu cho em một bài được không ạ

  5. e chào thầy ạ!
    thầy giải giùm e bài này ạ
    khai triển chuỗi Fourier:
    f(x)=xcosx trong [0,Pi] theo cosin.

    • Để khai triển hàm f(x) = xcosx trong [0; Pi] thành chuỗi cosin Fourier, em cần mở rộng hàm f(x) thành hàm g(x) là hàm chẵn trong [-Pi; Pi]. Như vậy: g(x) =|x|.cosx trong [-Pi;Pi]
      Khi đó, với x thuộc [0;Pi] thì g(x) chính là hàm f(x).
      Khi đó:
      b_n = 0 , \forall n \ge 1
      a_0 = { \dfrac{1}{\pi}} \int\limits_0^{\pi} xcosx \, dx = -2
      a_k = { \dfrac{2}{\pi}} \int\limits_0^{\pi} xcosx.cos(kx) \, dx

  6. em thưa thầy, thầy có thể giải hộ em bài tập này được không ạ:
    khai triển bậc 3 của hàm ẩn y = f(x) xác định bởi phương trình: y + x^2+ y^2 +y^3 + x^3=0 trong lân cận điểm 0 tại lân cận của x=0.

    • Chào bạn Winter,
      Cái này bạn nên đưa vào trang đạo hàm hàm ẩn thì đúng chủ đề hơn,
      Bài này có 2 ý. Đầu tiên ta cần xác định công thức khai triển bậc 3 là:
      y(0) + \dfrac{y'(0)}{1!}x + \dfrac{y''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{y'''(0)}{3!}x^3
      Để tính đạo hàm, bạn cần sử dụng kiến thức đạo hàm hàm ẩn.
      Ở đây để tìm y(0) , bạn thế x = 0 vào pt sẽ được: y + y^2 + y^3 = 0 \Rightarrow y = 0
      Đề tìm y’ bạn dùng công thức đạo hàm hàm ẩn: nếu F(x,y) = 0 thì y_x^{'} = - \dfrac{F_x^{'}}{F_y^{'}}
      Do đó: y' = - \dfrac{2x+3x^2}{1+2y+3y^2} (1) \Rightarrow y'(0) = - \dfrac{2.0+3.0^2}{1+2.0+3.0^2} = 0
      Để tính y” ta lấy đạo hàm của (1), bạn lưu ý y là hàm theo x thì sẽ có:
      y'' = - \dfrac{(2+6x)(1+2y+3y^2)-(2x+3x^2)(2y'+6yy')}{(1+2y+3y^2)^2} (2)
      Từ đó bạn có y”(0) = -2
      Tiếp tục lấy đạo hàm của (2), bạn sẽ tính được y”'(0)

  7. Thầy có thể giúp dùm em bài này được không, em không hiểu khai triển này là khai triển nào, tính hệ số k1 ra làm sao( biết: hàm sin là hàm lẻ, n=11, k1=0.451)
    sin^n(w.t+i)+k_3sin[3(w.t+i)]+..+k_nsin[n(w.t+i)]
    Hệ số k1=A.B với
    A=\dfrac{-1^{n-1}}{2^{n-1}}
    B=\left(\begin{array}{c} n \\ (n-1)/2 \\ \end{array} \right)

    • Bài này thật tình Thầy không hiểu rõ đề bài của em. Em có thể viết đề bài bằng file Word rồi gửi qua email cho Thầy được không?

  8. Thay co the giup em giai bai toan nay dc ko?
    Cho hinh tron tam O,ban kinh la 2.Giai bai toan DIRICHLE trong hinh tron tam O co phuong trinh la
    delta u=0;
    u|s=x^2-xy^2+2;

  9. Thầy ơi, giúp giùm em bài này:
    Cho hàm số: \left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, - \pi  \le t \le 0 \\ \sin t,0 \le t \le \pi  \\ \end{array} \right.
    Tìm khai triển Fourier của f và từ đó chứng minh rằng:
    \dfrac{{\pi  - 2}}{4} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\dfrac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{(2n - 1)(2n + 1)}}}

  10. Thầy ơi, nếu khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier trên (0, 2Pi) thì em phải làm thế nào ạ?

  11. Hello Sir,

    Thanks for uploading the Fourier Problem set.
    I was going through the problem set – thunhan.files.wordpress.com/2007/10/problemsfourier.pdf.

    In the following problem Problem 1 (g) I think the asnwer is 2*pi.

    Here is my understanding.

    x(t) = 5*Cos(3*x) + 2*Cos(2*x)
    Fundamental Period of 5*Cos(3*x) is T1 = 2*pi/3.
    Fundamental Period of 2*Cos(2*x) is T2 = pi

    Hence the Fundamental Period of x(t) is LCM (T1, T2) = T1*m = T2*k.
    where m and k are smallest possible integers so as to make LCM a integer.

    (2*pi/3)*m = pi*k

    Hence m is 3 and k is 2.

    LCM is 2*pi.

    Logically also period of 3 fundamental wave of 1st wave = period of 2 fundamentel wave of 2nd wave.


    – Harish
    Be exhilarated forever

  12. E cảm ơn bài giảng của thầy. Nhờ nó mà e đã hiểu!!!!! Cảm ơn thầy rất nhiều!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s