Thuật toán tìm ma trận bậc thang

Bước 1: Kiểm tra a_{11} \ne 0 ?

1.1 Nếu a_{11} = 0 a_{i1} \ne 0 , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.

1.2 Nếu a_{11} \ne 1 a_{k1} = 1 , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.

Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới a_{11} bằng phép biến đổi:

h_i \to h_i - { \dfrac{a_{i1}}{a_{11}}} h_1 , (i = 2, 3, ... m)

Khi đó, ma trận sẽ có dạng:

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng b�c thang dòng

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng bậc thang dòng

Bước 3: Kiểm tra b_{22} \ne 0 ?

1.1 Nếu b_{22} = 0 b_{j2} \ne 0 (j > 2) , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng j.

1.2 Nếu b_{22} \ne 1 b_{k2} = 1 , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ b_{22} trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành

Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới b_{22} bằng phép biến đổi:

h_i \to h_i - { \dfrac{b_{i2}}{b_{22}}} h_2 , (i = 3, ... m)

Ma trận đưa về dạng:

Chuẩn hóa cột 2

Chuẩn hóa cột 2

Tiếp tục quá trình trên cho phần tử c_{33} , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:

\left ( \begin{array}{ccccc} 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ \end{array} \right )

Bước 1: Phần tử a_{11} = 0 , a_{i1} \ne 0 , (i = 2, 3, 4) . Tuy nhiên a_{41} = 1 nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )

Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: h_2 \to h_2 - 4h_1, h_3 \to h_3 - 10h_1 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )

Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy a_{22} = -20 là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.

Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ \end{array} \right )

Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: h_3 \to h_3 + 13h_2, h_4 \to h_4 + 5h_2 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 14 \\ \end{array} \right )

Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )

Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.

Nhận thấy các phần tử a_{33} = 0, a_{43} = 0 nên cột 3 đã được chuẩn hóa.

Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử a_{34}

Do a_{34} = 0 , và a_{44} = 0 nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy dòng 4 trừ dòng 3.

Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang

Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:

Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: c_2 \to c_2 -7c_1 , c_3 \to c_3 - 3c_1 , c_4 \to c_4 - 17c_1 , c_5 \to c_5 - 9c_1 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bằng cách thực hiện phép biến đổi: c_3 \to c_3 -4c_2 , c_4 \to c_4 - 10c_2 , c_5 \to c_5 - 3c_2 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

40 responses to “Thuật toán tìm ma trận bậc thang

  1. Các phép biến đổi sơ cấp ở cột cũng chỉ áp dụng được khi đưa ma trận về dạng ma trận bậc thang với khi tính định thức. Chứ khi giải phương trình (dùng ma trận hệ số mở rộng thì không được dùng đúng không thầy?

  2. đồng ý, khi giải hệ pt bằng pp Gauss ta chỉ cần đưa về dạng bậc thang, nhưng khi dùng pp Jordan gauss phải đưa về dạng Hermit (bậc thang thu gọn),và các phép biến đổi sơ cấp đều phải dùng cho hàng, không được dùng cho cột vì thứ tự và giá trị các phần tử trong cột có liên quan đến biến (ẩn số), làm như vậy sẽ dẫn đến thay đổi bản chất của ma trận đang giải

  3. cái bước biến đổi sao chuyển 2 dòng lại ko đổi dấu ma trận vậy.Kỳ cục qúa đi mất

    • Em nên xem kỹ lại phần lý thuyết, phép biến đổi sơ cấp đổi chỗ hai dòng cho nhau chỉ làm đổi dấu định thức của ma trận, chứ không phải làm đổi dấu ma trận.

  4. Giải pt gauss chỉ có thể đưa ma trận về ma trận bậc thang bằng những biến đổi trên hàng thì hơi khó thầy ơi!

    • Đổi chỗ 2 dòng cho nhau là 1 trong 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng) mà em. Có một số giáo trình chỉ trình bày phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cũng như chỉ trình bày ma trận bậc thang dòng (chứ không trình bày pbdsc trên cột, hoặc ma trận bậc thang cột) là không đầy đủ (có thể vì sợ nhiều quá SV sẽ rối và sai khi dùng pbdsc trên cột để tìm ma trận nghịch đảo hoặc giải hệ pt).

  5. Thầy cho e mấy slide về bài tập cơ bản dạng này với.nhân tiện cho e hỏi cáh tính nghiệm cớ bản lun.thầy up e file .ppt ý.e dùg đt k phải pc nên pdf ăn k đc.thank thầy

  6. Thầy ơi! khi mình đang biến đổi theo dòng đến một bước nào đó mình chuyển sang theo cột, vậy có đúng ko thầy!

  7. thầy cho em hỏi, khi làm toán dạng biến đổi sơ cấp đưa về ma trận bậc thang, em thường bị vướng ở giai đoạn cuối, là dòng cuối cùng, hạng tử cuối cùng (a-n*m) là một số chứ không phải số không.
    làm sao để giải quyết tình trạng này đây thầy?
    em mới vào diễn đàn, có gì thiếu sót mong dc sự thông cảm của các bạn.

    • Nếu chú ý định nghĩa về ma trận bậc thang thì em sẽ thấy: Ma trận bậc thang hoặc không có dòng không, hoặc các dòng không nằm ở các dòng cuối cùng.
      Do đó, nếu hạng tử cuối cùng là một số chứ không phải số 0 thì không có vấn đề gì. Em làm đến đó thì ma trận đã có dạng bậc thang rồi.
      Ví dụ:
      \left[\begin{array}{rrrr} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right]
      thì nó đã có dạng bậc thang rồi.

  8. em có ý kiến:
    vậy thì lúc nào ma trận a cấp 4 tính ra cũng ra 3 rùi
    khử 1 hồi thì dòng cuối cùng là dòng 0 và 3 dong trên là hạng của ma trận
    đúng ko thầy

    • rất tiếc là ý kiến của em không chính xác. Em xem kỹ lại định nghĩa ma trận bậc thang nhé. Nếu có dòng không thì dòng không phải nằm ở dòng cuối của ma trận. Vậy là ma trận bậc thang có thể không có dòng không hoặc có thể có nhiều dòng không.
      Ví dụ:
      \left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ \end{array} \right] – với ma trận này thì khi đưa về ma trận bậc thang thì có tới 3 dòng không và hạng ma trận bằng 1.
      \left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right] – ma trận này đã là ma trận bậc thang, em không thể nào khử tiếp để có 1 dòng không được cả. Hạng ma trận này bằng 4.

  9. thầy ơi! cho e hỏi câu này: khi mình chuyển về MT bậc thang, theo thầy e dạy thì fải có dòng 0. Như thầy đã ví dụ thi khi chuyen ve MT bac thang k nhất thiết fai? có dòng = o fai k thầy. Vậy den khi nào thi minh biết MT do k the bien doi? được nữa ha? Thầy!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s