Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc

Để làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất ta sẽ xuất phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cơ sở xây dựng những lược đồ khác nhau, từ đó đi đến các quy luật phân phối xác suất tương ứng với mỗi lược đồ.

Giả sử một tập hợp N phần tử. Trong đó có M phân tử mang tính chất B nào đó, còn N-M phần tử không mang tính chất B. Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu nhiên từ tập hợp ra một phần tử. Theo những cách lấy khác nhau sẽ dẫn đến những lược đồ khác nhau và các quy luật phân phối xác suất khác nhau.

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số quy luật phân phối xác suất thường gặp nhất đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. Điều đó làm cho việc phân loại các đại lượng ngẫu nhiên trong thực tế theo các quy luật phân phối xác suất được dễ dàng hơn.

4.1. Quy luật nhị thức B(n, p)

a) Bài toán:

Từ tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất B nào đó, còn N-M phần tử không có tính chất B, ta lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n phần tử. Nếu lấy theo phương thức này thì n phép thử nói trên sẽ độc lập với nhau vì việc lấy được phần tử có tính chất B, hay không có tính chất B trong mỗi lần lấy không ảnh hưởng đến khả năng lấy được phần tử có tính chất B hay không có tính chất B ở các lần lấy khác. Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 trường hợp đối lập xảy ra. Hoặc biến cố A xảy ra (lấy được phấn tử có tính chất B) hoặc biến cố A không xảy ra (lấy được phần tử không có tính chất B).

Xác suất cho biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p = \dfrac{M}{N} xác suất cho biến cố A không xảy ra cũng đều bằng\dfrac{N-M}{N} = 1 - p

Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử, thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể có 0, 1, 2, …, n. Như đã chứng minh ở chương II, xác suất để X nhận các giá trị tương ứng được tính bằng công thức Bernoulli:

P_x = P(X = x) = C_{n}^{x}{p^x}{(1-p)^{n-x}} (x = 0, 1, 2, ..., n) (1)

b) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có (x = 0, 1, …, n;) với các xác suất tương ứng được tính theo công thức (1) gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số là n và p. Quy luật nhị thức được ký hiệu là B(n, p)

Nói cách khác, phân phối nhị thức gắn liền với việc lặp lại n lần một phép thử có hai sự kiện đối lập (thành công và thất bại; xảy ra và không xảy ra) với X là số lần thành công. Việc lặp lại ở đây có nghĩa là dãy phép thử được tiến hành trong cùng điều kiện và độc lập với nhau.

Như vậy bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức có dạng:

\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & { \dots} & n \\ \hline P_x & {C_{n}^{0}{p^0}{q^n}} & {C_{n}^{1}{p^1}{q^{n-1}}} & {C_{n}^{2}{p^2}{q^{n-2}}} & {C_{n}^{3}{p^3}{q^{n-3}}} & { \dots} & {C_{n}^{n}{p^n}{q^{0}}} \\ \end{array}

Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức (ký hiệu là X ~ B(n, p)) nhận giá trị trong khoảng [x, x + h] (với h nguyên dương và h ≤ n – x). Khi đó ta có thể tính xác suất này theo công thức:

P(x \le X \le x + h) = P_x + P_{x+1} + ... + P_{x+h} (2)

Trong đó: P_x, P_{x+1},  P_{x+h} được tính theo công thức (1).

Thật vậy biến cố (x ≤ X ≤ x + h) có thể tách thành tổng của h +1 biến cố xung khắc từng đôi là (X = x), (X = x +1), …, (X = x + h); do đó áp dụng định lý cộng xác suất với các biến cố đó ta có:

P(x \le X \le x + h) \\ = P(X = x) + P(X = x +1) + ... + P(X = x + h) \\ = P_{x} + P_{x+1} + ... + P_{x+h} (3)

Ví dụ 1:Gieo 4 hạt đậu, xác suất để 1 hạt cho cây ra hoa vàng là 0.75, ra hoa trắng là 0.25. Số cây đậu ra hoa vàng X có phân phối nhị thức B(4;0.75)

Ta có:

\begin{array}{c | c c c c c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & {0.25^4} & {4.0.75.0.25^3} & 6.{0.75}^2{0.25}^2 & {4.(0.75)^{3}.0.25} & {0.75^4} \\ \end{array}

Ví dụ 2: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.

b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.

Giải:

Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử, ta có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng hoặc không. Xác suất hỏng của mỗi máy đều bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày thì X phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là X ~ B(5; 0,1)).

Do đó xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng là xác suất để X = 2. Theo công thức (3.2) ta có:

P(X = 2) = C_{5}^2(0,1)^2(0,9)^3 = 0,0729

Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng là xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [0, 2]. Theo công thức (3.3) ta có:

P(0 \le X \le 2) = P_{0} + P_{1} + P_{2}

P_0 =  C_5^0.(0,1)^0(0,9)^5 = 0,59049

P_1 = C_5^1(0,1)^1(0,9)^4 = 0,32805

Vậy: P(0 ≤ X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144

33 responses to “Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc

  1. xet gia dinh co hai con. kha nang sinh con gai trong moi lan sinh la 0.51cac lan sinh doc lap. tim xac suat de chon ngau nhien mot gia dinh trong so cac gia dinh co hai con ta dc:
    a) gd co con gai dau va con trai thu 2
    b) gd co con trai thu 2 biet rang dua thu nhat la con gai
    c) gd co con thu hai la trai biet rang ho co it nhat mot con gai

  2. thầy cho em hỏi bài này
    cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất là F(x).Tìm hàm phân phối xác suất cua aX+b;X^2;|X|
    em cảm ơn thầy.thầy gửi qua mail hộ em được ko ạ.em cảm ơn thầy nhiều

  3. Em chào thầy!
    Thầy ơi!Thầy có thể chứng minh giúp em Định lí giới hạn trung tâm trong xác suất không ạ!

  4. thưa thầy, thầy có thể nói rõ cho em biết trong những trường hợp nào thì có thể áp dụng quy tắc “hai sigma” và “ba sigma”?
    ví dụ một bài như sau: kích thước chi tiết là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với “muy” – 55cm. và kích thước thực tế của các chi tiết không nhỏ hơn 32 cm và không lớn hơn 68cm. tìm xs để lấy ngẫu nhiên được một chi tiết có kích thước lớn hơn 55cm.
    bài như trên thì có thể áp dụng quy tắc trên không ạ?
    em cảm ơn thầy

  5. thay oi,giai dum em bai xs nay voi.
    Tung 2 con xuc xac.lap bang phan phoi xac suat de tinh tong so nut xuat hien cua 2 con xuc xac?
    Em cam on thay.

  6. chào thầy!
    Thầy giải cho e bài toán này nhé:
    Lô hàng có 7 sp loại A, 3 sp loại B, 2 sp loại C.
    hỏi: Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sp từ lô hàng này cho đến khi nào số sp loại A, loại B, loại C lấy ra bằng nhau thì dừng lại và gọi X là số sp được lấy ra.
    Tìm phân phối xác suất X.

  7. em mới vào đây thấy các bạn có rất nhiều câu để hỏi thầy.em cũng mong thầy chỉ giúp em hướng làm câu này vì em làm dùm mẹ nhưng lâu quá em không nhớ rõ nữa
    tuổi thọ một loại sản phẩm tuân theo quy luật chuẩn có trung bình tuổi thọ là 11 năm,độ lệch là 1 năm.nếu thời gian bảo hành là 8 năm.tính tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành?mong thầy và bạn nào biết xin giúp đỡ.em cám ơn nhiều

  8. Em chao thay. em cung co van de muon hoi mong thay giai dap. Em thay trong chuong trinh con co pp chuan, pp chebyshev, pp sieu boi.. nhung sao thay chi de cap den hai dang pp thoi vay a.
    Ngoai ra, trong q/l nhi thuc co cau “khi n lon, p khong qua gan 0, ko qua gan 1”. lam sao de xac dinh p va n
    trong q/l sieu boi co noi “khi n rat be so voi N thi..”. vay the nao goi la rat be a.
    Mong thay giai dap giup em. Cam on thay.

  9. cho em hỏi bài này với ạ. một người chơi một trò chơi tỉ lệ thắng hòa thua là như nhau với mỗi ván. thắng đc 1 đồng thua mất 1 đ hòa không mất không đc. giả sử ban đầu ng đó có K đồng. a)tính xác suất ng đó ngừng lại ngay khi hết tiền.
    b)tính xác suất ng đó dừng lại khi hết tiền hoặc kiếm đc N đồng với 0<N<K

  10. @Gumiho:
    Bài trên có trong đề cương xác suất thống kê của bọn mình ^^ (mình học BK). Hiện giờ mình vẫn chưa giải được, nhưng mình tìm đc 1 thứ là số lần xuất hiện của các trường hợp (được thêm a hoặc mất đi a đồng) là bằng nhau và tuân theo hệ số của khai triển (x^2 + x + 1)^n

  11. nho thay giai ho em bai nay a.

    Danh gia dai luong ngau nhien X co ham mat do xac suat:

    cx^2 voi 0<x<4
    f(x)=
    0 neu nguoc lai

    a/ Tinh P(2<= X <= 3)
    b/ Tim ham phan phoi F(x).

    em cam on thay a.

  12. cho e hoi de bai nguoi ta cho la cho 2bang phan phoi xac suat cua 2dai luong ngau nhien X va Y, ng ta yeu cau tim bang phan phoi xac suat cua X+Y va` XY thi lam ntn? e cam on

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s