Đạo hàm của hàm hợp

1. Định nghĩa:

Giả sử phương trình \mathop z = f(u,v) (1) xác định với u, v là hàm số của các biến độc lập x và y: u = g(x,y) , v = h(x,y) (2) thì khi đó z được gọi là hàm số hợp của các biến số x và y thông qua 2 biến trung gian u và v.

Như vậy z cũng có thể biểu diễn như hàm 2 biến x, y: z = f(g(x,y);h(x,y)) (3)

Ví dụ: Cho z = uv + u^v ; u = sin(x+y) , v = \sqrt{x^2+y^2}

Khi đó: z = sin(x+y).{\sqrt{x^2+y^2}}+(sin(x+y))^{\sqrt{x^2+y^2}}

Tình huống:

Nếu ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số hợp thì có thể viết hàm số dưới dạng tường minh theo 2 biến x, y. Tuy nhiên, với hàm trên thì việc lấy đạo hàm riêng sẽ rất khó khăn. Hoặc nếu hàm số chưa xác định được công thức, ví dụ: z = f(x+y;xy) hoặc z = sin(u(x,y);v(x,y)) thì làm sao tính được các đạo hàm riêng

2. Định lý: (Tính { \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}} từ (1), (2) mà không dùng (3)

Cho z = f(u,v) và u, v là các hàm của hai biến u = u(x,y) và v = v(x,y). Cho các hàm z, u, v khả vi tại các điểm tương ứng. Khi đó, z = f(u,v) có các đạo hàm riêng { \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}} xác định bởi công thức:

{ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} ; { \dfrac{\partial z}{\partial y}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial y}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial y}}

3. Quy tắc Xích để xác định công thức tính đạo hàm cho hàm hợp:

xich2– Dòng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z

– Dòng 2: Xác định các biến trung gian có trong hàm z. Ví dụ: (u,v)

– Dòng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm. Ví dụ x

– Nối z với các biến trung gian u, v bằng những đoạn kẻ. Mỗi đoạn kẻ tương ứng với phép lấy đạo hàm.

– Nếu u, v là những biến phụ thuộc x thì nối u với x bằng 1 đường kẻ; nối v với x bằng 1 đường kẻ. Các đường kẻ trên chính là các phép toán lấy đạo hàm riêng.

– Tổng hợp tất cả các cách nối được từ z đến x ta sẽ có công thức tính đạo hàm của z theo x.

4. Một số trường hợp tổng quát:

xich311. Với z = f(u,v, w) , trong đó u = u(t), v = v(t), w = w(t)

Khi đó: z là hàm số hợp của 1 biến số t thông qua 3 biến trug gian u, v, w.

Bấy giờ, đạo hàm của z theo t được xác định

{ \dfrac{dz}{dt}} = { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{du}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{dv}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial w}}.{ \dfrac{dw}{dt}}

(do z, u, v, w đều là hàm theo 1 biến t nên đạo hàm là đạo hàm thường)

Áp dụng: tính { \dfrac{du}{dt}} , nếu z = xyz , với x = t^2 + 1 , y = lnt , z = tgt

Tương tự quy tắc trên, ta có: { \dfrac{du}{dt}} = { \dfrac{\partial u}{\partial x}}.{ \dfrac{dx}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial z}}.{ \dfrac{dz}{dt}}

Nghĩa là: { \dfrac{du}{dt}} = yz.2t + xz.{ \dfrac{1}{t}} + xy.(1+tg^2t)

Hay: { \dfrac{du}{dt}} = 2t.lnt.tgt + { \dfrac{(t^2+1).tgt}{t}} + (t^2+1).lnt.(1+tg^2t)

Ví dụ 1: Tính { \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}} nếu z = y^x với y = f(x).

Trong ví dụ này, ta cần chú ý và phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu { \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}}

Đầu tiên, ký hiệu { \dfrac{dz}{dx}} chỉ z là hàm theo 1 biến x, trong khi đó, biểu thức xác định của z là: z = y^x , y = f(x) nên với ký hiệu này ta sẽ hiểu là z là hàm số hợp của 1 biến x thông qua biến trung gian y.

Còn ký hiệu, \dfrac{\partial z}{\partial x} chỉ đạo hàm riêng của z theo biến x, điều này được hiểu là z là hàm hai theo 2 biến độc lập x, y.

Như vậy: { \dfrac{\partial z}{\partial x}} = y^x.lny

Còn: { \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{\partial z}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = y^x.lny + x.y^{x-1}.f'(x)

Ví dụ 2: Tìm { \dfrac{\partial w}{\partial r}} , { \dfrac{\partial w}{\partial s}}, { \dfrac{\partial w}{\partial s}} biết w = x + 2y + z^2 , x = { \dfrac{r}{st}} , y = tgr + ln{\sqrt{s^2+1}} , z = e^{sin(st)}

Bạn có thể lập sơ đồ xích cho 3 biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm như sau:

xich4Dựa vào sơ đồ trên, ta có:

{ \dfrac{\partial w}{\partial r}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial r}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial r}} , { \dfrac{\partial w}{\partial s}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial s}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial s}} + { \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial s}}

{ \dfrac{\partial w}{\partial t}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial t}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial t}}

Việc còn lại bạn làm tiếp tục nhé.

Ví dụ 3: Tìm { \dfrac{\partial}{\partial x}} f(x^2y ; cos(lnx + y^2))

Ta đặt: \mathop u = x^2y , v = cos(lnx + y^2) thì f là hàm số hợp của 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Khi đó: { \dfrac{\partial f}{\partial x}} = { \dfrac{\partial f}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial f}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} = f_u^{'}.2xy + f_v^{'}. \left( -{ \dfrac{1}{x}}.sin(lnx + y^2) \right)

= f_u^{'}.2xy - f_v^{'}. { \dfrac{sin(lnx + y^2)}{x}}

4. Đạo hàm cấp 2 của hàm số hợp 2 biến:

Giả sử z là hàm số hợp theo 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v. Khi đó ta đã có công thức tính đạo hàm riêng cấp 1 của z đối với 2 biến x, y. Vấn đề đặt ra là: vậy nếu cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số hợp thì ta phải làm thế nào?

Ta chú ý, trong công thức: { \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}}

Các đại lượng { \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}} lại là các biểu thức theo u, v nên nó lại là những hàm số hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Do đó: { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = \left( { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} \right)_x^{'}

= \left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{{\partial}^2u}{\partial x^2}} + \left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{{\partial}^2v}{\partial x^2}} (*)

Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho 2 hàm { \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}} . Ta có:

\left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial u^2}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}u{\partial}v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} , \left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}v{\partial}u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial v^2}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} (**)

Từ (*), (**) ta có:

{ \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = z_{uu}^{''}. \left(u_x^{'}\right)^2 + 2.z_{uv}^{''}.u_x^{'}.v_x^{'} + z_{vv}^{''}. \left( v_x^{'} \right)^2 + z_u^{'}.u_{xx}^{''} + z_v^{'}.v_{xx}^{''}

Hoàn toàn tương tự, ta tìm được công thức xác định { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}} (bạn thử tìm xem nhé)

Ví dụ áp dụng: Tìm { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} , { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}} nếu z =f(u,v) ; u = xy ; v = { \dfrac{x}{y}}

Đáp số:

{ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} = y^2f_{uu}^{''}+ 2f_{uv}^{''}+{ \dfrac{f_{vv}^{''}}{y^2}}

{ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} = xy.f_{uu}^{''} - { \dfrac{x}{y^3}} f_{uv}^{''} + f_u{'} + { \dfrac{1}{y^2}}.f_v^{'} { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}y^2}} = x^2y f_{uu}^{''} - { \dfrac{2x^2}{y^2}} f_{uv}^{''} + { \dfrac{x^2}{y^4}} f_{vv}^{''} + { \dfrac{2x}{y^3}} f_v^{'}

Tình huống:

Cho y là hàm theo biến số x xác định từ phương trình: y^x = x^y .Bạn thử tìm đạo hàm: y_x^{'} .

Nếu giải tìm được y theo x thì bài toán quá dễ dàng. Còn nếu không giải tìm được hàm y theo biến x thì thế nào đây?


16 responses to “Đạo hàm của hàm hợp

  1. Chào thầy ạ.Em thắc mắc bài này không biết làm thế nào cả..em mong thầy hướng dẫn em cách làm bài này
    f (x, y, z, t) = (x + 2*(y)^2 – 3z + t^2 , x^2 – y + z^2 – t )
    Xét ánh xạ hợp g(x, y) = f(x, y, z(x, y), t(x, y)) trong đó
    z = x^2 – 2y , t = xy . Tính đạo hàm Dg theo công thức đạo hàm hàm hợp và kiểm nghiệm bằng phép tính trực tiếp.
    note : em chưa hiểu hàm f vẫn chưa xác định được công thức thì làm sao tính đạo hàm df / dx với df / dy được ạ….mà cái kiểm nghiệm bằng phép tính trực tiếp là như thế nào hả thầy

  2. em chào thầy ạ!thầy giúp em bài này với em làm mãi mà không được thầy ạ.

    đơn giải biểu thức:U'(x)+u'(y)+u'(z) nếu

    u = 1/12.x^4 – 1/6.x^3.(y+z)+1/2.x^2.y.z + f(y-x,z-x)
    trong đó F là hàm khả vi
    Em xin chân thành cảm ơn thầy

  3. thầy cho em một ví dụ về dạo hàm riêng cấp 2 theo (xy)khác với dạo hàm riêng theo(yx):F”(xy)khác F”(yx). em tìm hồi không ra.em cảm ơn thầy

  4. Chào thầy, em có 1 vấn đề nhỏ sau nhờ thầy giải đáp:
    Ban đầu có dz/dt và d^2z/dt^2. Đặt B=A*t và E = C*z, thì dE/dB và d^2E/dB^2 có quan hệ như thế nào với dz/dt và d^2z/dt^2.
    Cám ơn thầy rất nhiều.

    • Em có: dB = A*dt ; dE = C*dz. Từ đó, dễ dàng suy ra kết quả. Hoặc em có: dE/dB = (dE/dz).(dz/dt).(dt/dB) = (dE/dz)*(dz/dt)/(dB/dt). Kết quả là dE/dB = (C/A)*(dz/dt)
      tương tự cho d^2E/dB^2

  5. (u/v)’ = (u’v – uv’)/v^2 ( v=v(x) # 0). Chứng minh định lí này đúng hộ em với thầy ơi

  6. Chào Thầy,
    Làm ơn chỉ dùm em cách t2m vi phân của hàm 2 biến đc hok. ví dụ:
    Ta có hàm: z= (x^2)(y^3) + x^4
    => z'(x) = 2x*(y^3) + 4x^3
    => z'(y) = (3y^2)*(x^2) + x^4
    Vậy z’ = 6(y^2)x có đúng ko ạ. Xin thầy làm ơn chỉ rõ cách tính dùm em nha. Trong sách Toán A3 của em không ghi cách tính, còn sách Toán A1 thì em làm mất rùi.>”<
    Em cảm ơn thầy nhiều nhiều.
    Bjo thầy nhận dc comment của em, thầy trả lời dùm em nha.

    • Em tính z_x^{'} đúng còn z_y^{'} sai. Chính xác phải là: z_y^{'} = 3y^2x^2
      Còn vi phân toàn phân hoàn toàn không chính xác. z = f(x,y) \Rightarrow dz = z_x^{'}.dx + z_y^{'}.dy
      Em xem thêm bài vi phân toàn phần của hàm nhiều biến nhé.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s