Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân

1. Định nghĩa 1 (Khái niệm và phân loại):

Phương trình vi phân là 1 phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó. Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.

  • Nếu phương trình có hàm số phải tìm là hàm 1 biến số thì phương trình đó được gọi là phương trình vi phân thường.

Ví dụ: y'(x) - x.y(x) = 0; d^2y + xydx^2 = 0; (y'')^3+ x.y' = sinx là những phương trình vi phân thường.

  • Nếu phương trình chứa hàm nhiều biến z và các biến số của nó cùng với các đạo hàm riêng của z được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Ví dụ: x.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = y.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} ; { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} = { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}y^2}} + { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} là những phương trình đạo hàm riêng

Ghi chú: Trong học phần Giải tích 2, ta chỉ xét phương trình vi phân thường (gọi tắt phương trình vi phân (ptvp)), còn với phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt phương trình đạo hàm riêng (ptđhr)) sẽ được nghiên cứu ở những học phần sau. Nhiều chuyên ngành chỉ học ptvp mà không học ptđhr.

Quy ước: từ đây khi nói ptvp ta ngầm hiểu đó là ptvp thường.

2. Định nghĩa 2 (phân nhóm ptvp):

Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong ptvp được gọi là cấp của ptvp đó.

Ví dụ: (y'')^2 + 5(y')^3 - y = 1 ; (y')^5 + (y'')^2 - y = 1 có mặt đạo hàm cấp 2 nên được gọi là ptvp cấp 2.

(y')^2 + 4xy^3 + 5y^5 = 0 được xếp vào nhóm ptvp cấp 1.

Tổng quát: ptvp cấp n là phương trình có dạng F(x,y,y',...,y^{(n)}) = 0

3. Định nghĩa 3: (Nghiệm của ptvp):

Nghiệm hay tích phân của ptvp là mọi hàm số y = f (x) mà khi thay vào pt sẽ biến phương trình thành đồng nhất thức.

Ví dụ 1: Phương trình: y'' + y = 0 nhận các hàm số y = sinx , y = cosx , y = 2cosx - sinx và tổng quát là hàm số có dạng: y = C_1sinx + C_2cosx là nghiệm của pt, với mọi hằng số C1 và C2.

Ví dụ 2: Phương trình: y' ={ \dfrac{y+x}{x}} (x > 0) nhận hàm số y = xlnx + Cx làm nghiệm.

Phương trình vi phân xuất hiện từ nhu cầu thực tế trong việc nghiên cứu các bài toán cơ học. Đối với Vật lý ta dễ dàng tìm được các hình ảnh của phương trình này qua các ví dụ thực tế:

Ví dụ: Biết rằng tốc độ phân rã của radium tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó. Hãy tìm quy luật phân rã của radium, nếu biết khối lượng ban đầu của nó và thời gian T cần thiết để phân rã hết 1 nửa khối lượng radium ban đầu. Hỏi sau 100 năm sẽ phân rã hết bao nhiêu phần trăm khối lượng radium ban đầu nếu biết T = 1600 năm?

Ta ký hiệu R(t) là khối lượng radium tại thời điểm t, R0 là khối lượng radium ban đầu, (tức là tại thời điểm t = 0 ). Khi đó, tốc độ phân rã theo thời gian là \dfrac{dR}{dt} Tốc độ này là 1 đại lượng âm vì R giảm dần theo thời gian.

Gọi k là hệ số tỉ lệ, theo điều kiện bài toán thì { \dfrac{dR}{dt}} = -kR

Như vậy việc tìm quy luật phân rã của radium trở về việc giải phương trình vi phân. Việc giải phương trình này sẽ được chúng ta đề cập lại ở phần sau. Tuy nhiên, điều này cũng làm rõ cơ sở lý thuyết cho vấn đề này khi ta phải công nhận kết quả về tốc độ phân rã của các chất phóng xạ khi học ở phổ thông. Việc giải phương trình vi phân trên sẽ đưa tới kết quả mà ta đã phải công nhận:

R(t) = R_0e^{-kT}

Ví dụ: Xét bài toán về dòng điện với cuộn tự cảm. Giả sử I, U, R lần lượt là cường độ dòng điện, hiệu điện thế và điện trở tại thời điểm t, L là hệ số tự cảm. Khi đó, ta có:

U = IR + L{ \dfrac{dI}{dt}} Hay { \dfrac{dI}{dt}} + { \dfrac{R}{L}}I = { \dfrac{U}{L}}

Việc giải phương trình vi phân trên, sẽ giúp chúng ta đi đến kết quả quan trọng, đó là nội dung định luật Ohm.

13 responses to “Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân

  1. Thầy ơi giúp em bài này với ạ:

    (y”)^2 + 1 = 2y’.y”’

    (y”)^2 + y’ =xy”

    Em làm đc 1tí rồi bí. Không biết làm như thế nào nữa

    • Cả hai phương trình này không chứa hàm phải tìm y, và ở đây cấp thấp nhất của đạo hàm là cấp 1. Vì vậy, phương pháp chung là đặt y^{(k)} = z , với k là cấp thấp nhất của đạo hàm và z là hàm mới phải tìm.
      Đặt y’ = z ta có: (1) \Leftrightarrow (z')^2 + 1 = 2z.z'' (1') ; (2) \Leftrightarrow (z')^2 + z = xz' (2')
      – Xét (1′): đây là không chứa biến số độc lập nên phương pháp chung là đặt z’ = t và coi t là hàm theo z (t = t(z))
      Khi đó: z'' = \dfrac{d(z')}{dx} = \dfrac{dt}{dx} = { \dfrac{dt}{dz}}{ \dfrac{dz}{dx}} = t'.z' = t'.t
      Do đó (1') \Leftrightarrow t^2 + 1 = 2z.t.t' , bài toán trở về phương trình phân ly biến số với t là hàm theo z, em giải tìm được t, suy ra z’, suy ra y’ và tìm được nghiệm pt.
      – Xét (2′) ta có (2′) là phương trình Clero: z = xz' +g(z')
      Đặt z’ = p Khi đó (2′) có dạng: z =xp - p^2 (2'')
      Ta có: dz = z'dx = pdx Mà từ (2”) ta có: dz = pdx + xdp -2pdp
      Vậy: pdx + xdp - 2pdp = pdx \Rightarrow (x - 2p)dp = 0
      Từ đây em giải tìm được p, suy ra z’ rồi suy ra y’ và cuối cùng là y

  2. Thầy ơi, các bài về ptvp em chưa rõ lắm, nhưng sao em không thấy các bài giảng về phần này? Về pt phân ly biến số thì lúc nào dy(dx) cũng chỉ chứa các biến y (x) hay hằng số thôi hả thầy? pt nào mà có dx nhân với hàm số cộng hoặc trừ cho dy nhân với 1 hàm số bằng 0 thì được coi là phương trình phân ly biến số hả Thầy?

    • Để nhận diện phương trình phân ly biến số (tách biến), em nên chuyển phương trình về dạng sau:
      y' = f(x,y) = g(x).h(y) hoặc \dfrac{dy}{dx} = g(x).h(y) (nghĩa là tách riêng được biến x 1 bên và hàm số y 1 bên
      Ví dụ: x(y^2+1)dx + y(x^2+1)dy = 0
      \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = - { \dfrac{x(y^2+1)}{y(x^2+1)}} = { \dfrac{x}{x^2+1}}.{ \dfrac{y^2+1}{y}}
      Vậy đây là phương trình phân ly biến số.
      Để giải phương trình này em chỉ cần đưa về: { \dfrac{dy}{h(y)}} = g(x).dx
      Khi đó vế trái em lấy tích phân theo y, còn vế phải em lấy tích phân theo x thì sẽ tìm được nghiệm (tích phân tổng quát) của phương trình.

  3. thay oi con ve pt dang cap ti sao ha thay?co phai no phai luon co dang ham x(y) chia cho ham y(x) ma bac cua chung phai bang nhau ko thay?

    • Với phương trình đẳng cấp, em đưa phương trình về dạng:
      y' = f(x,y)
      Khi đó, muốn là phương trình đẳng cấp thì vế phải phải thỏa mãn tính chất: f(tx,ty) = f(x,y) , \forall t
      Nếu vế phải có dạng: f(x,y) = { \dfrac{M(x,y)}{N(x,y)}} thì tất cả các số hạng của M(x,y) và N(x,y) phải cùng bậc.
      Ví dụ: phương trình y' = { \dfrac{2xy}{x^2+y^2}} là phương trình đẳng cấp (do các số hạng 2xy, x^2, y^2 đều có bậc là 2)
      – phương trình y' = { \dfrac{x^2+y^3}{x^2+y^2}} không phải là phương trình đẳng cấp ( do y^3 là số hạng bậc 3, còn các số hạng còn lại đều bậc 2)

  4. thầy ơi cho em hỏi tai sao nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng lại co dạng y=e^kx.E, đọc sách noi dùng phương pháp giảm cấp nhưng sau em làm hoai cũng không ra.Mong thầy giải thích rõ hơn giúp em…

  5. thầy giải dùm em bài này đc k ạh:
    (x-1).y”.y’ = x.(x-1)^2, với điều kiện y(2)=1, y'(2)=-1
    lúc đầu em đặt y’=z (z là hàm theo x)rồi tính,thì được: (y’)^2 = 2x^3/3 – x^2 + C
    nhưng sau đó gặp cái (y’)^2 thì bí không lấy nguyên hàm đc, thầy ơi giúp em với
    em cám ơn thầy nhiều ạh

  6. Em thấy người ta nói hàm sóng f(z+vt) là nghiệm pt vi phân: f”(t) = v^2.f”(z)
    Nhưng em không hiểu tại sao mà người ta biết được? Thầy giúp em nha.

    • Tất nhiên, để tìm nghiệm thì người ta sẽ phải giải pt, em à. Pt mà em đề cập là pt đạo hàm riêng (pt chứa đạo hàm riêng của hàm nhiều biến), nó là 1 dạng khác, ko được xếp vào lớp pt vi phân (pt chứa đạo hàm của hàm 1 biến). Do vậy, để biết vì sao người ta tìm ra được f(z+vt) là nghiệm pt truyền sóng thì em cần học cách giải pt truyền sóng để tìm ra nghiệm của nó.
      Còn muốn kiểm chứng hàm f(z+vt) có phải là nghiệm hay không, thì em có thể tính 2 đạo hàm riêng rồi thế vào pt. Nếu nó thỏa thì đó là nghiệm.

  7. Thầy ơi, làm sao phân biệt được dạng nào làm theo cách giải pt phân ly biến số,dạng nào làm theo cách giải pt tuyến tính.e rất mơ hồ về vấn đề này,thấy dạng bt của 2 pt này khá giống nhau.
    Thầy giúp em với.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s