Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-S

1. Phân thức hữu tỷ sơ cấp: New Update

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng: \dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}, trong đó P(x), Q(x) là các đa thức. Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) (degP(x) < degQ(x)).

Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:

1. \dfrac{A}{{x - a}}

2. \dfrac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^m}}},m \ge 1,m \in Z

3. \dfrac{{Ax + B}}{{{x^2} + px + q}}, tam thức bậc hai x 2 + px + q không có nghiệm thực

4. \dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}},n \ge 1,n \in Z, x2 + px + q không có nghiệm thực. Trong đó A, B, p, q, a là những số thực

2. Tích phân phân thức hữu tỷ sơ cấp:

2.1 Ta xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên:

1. \int \dfrac{A}{x-a}dx = A.ln \left| {x-a}\right| + C

2. \int \dfrac{A}{(x-a)^m}dx = \dfrac{A}{1-m} \dfrac{1}{(x-a)^{m-1}} + C

3. \dfrac{A}{2}\ln ({x^2} + px + q) + \dfrac{{2B - Ap}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }}arctan\dfrac{{2x + p}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }} + C

2.2 Ví dụ 1: Tính \int {\dfrac{{x + 1}}{{2{x^2} + 2x + 5}}dx}

Ta có:

\int\dfrac{x+1}{2x^2+2x+5}\, dx = \int\dfrac{ \dfrac{1}{4}(4x+2) + \dfrac{1}{2}}{2x^2+2x+5} \, dx = \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{(4x+2)dx}{2x^2+2x+5} + \dfrac{1}{2}. \int\dfrac{dx}{2x^2+2x+5}

= \dfrac{1}{4} ln (2x^2+2x+5) + \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{dx}{ \left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2}

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{4}\dfrac{2}{3}\arctan \left( {\dfrac{{x + \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{3}{2}}}} \right) + C

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{6}\arctan \left( {\dfrac{{2x + 1}}{3}} \right) + C

Ví dụ 2: Tính tích phân: \int { \dfrac{2x + 5 }{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Ở đây, ta gặp dạng tích phân bậc tử bé hơn bậc mẫu 1 bậc. Do đó, ta thêm bớt ở tử số để xuất hiện biểu thức là đạo hàm của mẫu. Bài này cần xuất hiện 4x + 2 ở tử số. Ta có:

\int { \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{(4x + 2) + 8}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Hay:

{ \dfrac{1}{2}} {\int { \dfrac{(4x + 2)}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx} + {\int { \dfrac{4}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{x^{2} + x + 3/2}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{(x+1/2)^{2} + 5/4}} \, dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + 2.{ \dfrac{2}{\sqrt{5}}}.{arctg{({ \dfrac{x+1/2}{ \dfrac{\sqrt{5}}{2}}})}} + C

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + { \dfrac{4.{\sqrt{5}}}{5}}.{arctan{({ \dfrac{{(2x+1)}.{\sqrt{5}}}{5}})}} + C

2.3 Tích phân dạng 4:

2.3.1 Xét trường hợp đặc biệt của tích phân loại 4: \int {\dfrac{{dt}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

I_n = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n} = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{a^2+t^2-t^2}{(t^2+a^2)^n} \, dt = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2} \int\dfrac{t^2dt}{(t^2+a^2)^n}

= \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} - \dfrac{1}{2a^2}. \int\dfrac{td(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n}

Áp dụng công thức tích phân từng phần cho \int {\dfrac{{td({t^2} + {a^2})}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

Đặt u = t ; dv = \dfrac{d(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n} . Khi đó:

I_n = \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} + \dfrac{t}{2a^2(n-1)(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2(n-1)} \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} \\ = \dfrac{1}{2a^2(n-1)}. \dfrac{t}{(t^2+a^2)^{n-1}} + \dfrac{1}{a^2}. \dfrac{2n-3}{2n-2}.I_{n-1}

Công thức trên cho phép sau (n-1) lần thì In được đưa về \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + {a^2}}}}

Ghi chú: Tích phân dạng trên, ta có thể chuyển về tích phân hàm lượng giác bằng cách đặt t = a.tanu

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{dx}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}

Áp dụng công thức trên với n = 3 và a = 1. Ta có:

I_3 = \dfrac{1}{2.1.2} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{1}{1} \dfrac{2.3-3}{2.3-2}I_2 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{4} \left( {\dfrac{1}{2.1.1}\dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{2.2-3}{2.2-2}I_1} \right)

Từ đó:

I_3 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{8} \dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{3}{8}arctanx + C

Do: I_1 = \int\dfrac{dx}{x^2+1} = arctanx + C

2.3.2 Tích phân dạng 4:

Cần tính \int {\dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}}} dx, \dfrac{{{p^2}}}{4} - q < 0

Trong tử số ta tách ra đạo hàm của tam thức bậc hai ở mẫu số:

\int\dfrac{\dfrac{A}{2}(2x+p)+ \left( {B - \dfrac{Ap}{2}} \right)}{(x^2+px+q)^n}\,dx = \dfrac{A}{2}. \int\dfrac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}+ \left( {B-\dfrac{Ap}{2}} \right) \int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^2}

Như vậy, tích phân cần tính được tách thành 2 tích phân, trong đó:

– Dễ dàng tính tích phân thứ nhất.

– Với tích phân thứ hai:

\int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^n} = \int\dfrac{dx}{ \left[ { \left( {x+\dfrac{p}{2}} \right)^2 + \left( {q-\dfrac{p^2}{4}} \right)} \right]^n} = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n}

Với t = x + \dfrac{p}{2} ; a^2 = q - \dfrac{p^2}{4} (do p2 – 4q < 0)

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{3x + 2}}{{{{({x^2} + 2x + 10)}^2}}}dx}

47 responses to “Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

    • Bài này nếu bạn xét dấu của |cosx – sinx| thì sẽ khá dài.
      Ở đây ta nhận xét:
      |cos(x+\pi)-sin(x+\pi)|=|-cosx-(-sinx)|=|sinx-cosx|=|cosx-sinx|
      Vậy: \int\limits_{\pi}^{2\pi} |cosx-sinx| \, dx = \int\limits_0^{\pi} |cosx-sinx| \, dx
      Do đó: \int\limits_{0}^{2\pi} |cosx-sinx| \, dx =2 \int\limits_0^{\pi} |cosx-sinx| \, dx
      Tới đây bạn bung trị tuyệt đối sẽ có 2 tích phân 1 tích phân từ 0 đến pi/4 và 1 tích phân từ pi/4 đến pi

    • Đơn giản thui. Cậu chỉ cần giải cosx – sinx để tìm nghiệm của nó. Sau đó, cậu xét dấu trên các khoảng và tách ra làm 2 tích phân. Nếu khoảng nào âm thì cậu đổi dấu đằng trước, còn nếu dương thì cậu giữ nguyên dấu.

  1. Thầy ơi, dạng mà trên tử bằng 1, mẫu là tích của nhiều hàm số thì làm thế nào ah? Ví dụ như tích phân của 1/((x+1)^3*(x-1)^2)

    • Em dùng phương pháp ở trên, tách thành các phân thức như sau:
      \dfrac{1}{(x+1)^3(x-1)^2} = \dfrac{A_1}{x+1} + \dfrac{A_2}{(x+1)^2} + \dfrac{A_3}{(x+1)^3} + \dfrac{B_1}{x-1} + \dfrac{B_2}{(x-1)^2}
      Sau đó, quy đồng mẫu số, ta tính được các hệ số A1, A2, A3, B1, B2

  2. Thầy ơi! Bài tập này phải giải sao đây! Tính tích phân (x^2-8x+7)/(x^2-2x-10)^2. Em làm hoài mà nó không ra được! Em cảm ơn!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s