Số phức (Complex Number)

Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x^2 + 1 = 0 vô nghiệm thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

I. Khái niệm về số phức

1.1. Định nghĩa số phức:

1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i^2 = - 1 gọi là đơn vị ảo.

2. Biểu thức z = a + bi ; a, b \in \mathbb{R} gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là \mathbb{C} .

4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.

5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c ; b = d.

6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký hiệu \overline{z} . Khi đó: số phức liên hợp của \overline{z} là z.

1.2. Các dạng biểu diễn của số phức:

1. Dạng đại số: Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số phức.

2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b) của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.

Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục thực.

Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo.

Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.

Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ \vec{OA} Trong nhiều trường hợp, người ta xem vec tơ \vec{OA} như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.

3. Dạng lượng giác của số phức

sophucCho số phức z = a +bi và \vec{OA} là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy. Khi đó:

Độ dài r = | \vec{OA}| của vectơ \vec{OA} được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển nhiên ta có:

|z| \ge 0 , \forall z \in \mathbb{C}, |z | = 0 \Leftrightarrow z = 0

Bây giờ giả sử z \ne 0 , tức là \vec{OA} \ne \vec{0} . Góc định hướng giữa tia Ox và vectơ \vec{OA} (đo bằng radian) \varphi = \left( \widehat{Ox;\overrightarrow{OA}} \right) được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất mà sai khác nhau k2{\pi} .

Nếu chỉ giới hạn xét \varphi \in [0;2{\pi} thì khi đó \varphi được gọi là argument chính, ký hiệu argz.

Khi z = 0 thì \varphi không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.

Rõ ràng a = rcos{\varphi} ; b = rsin{\varphi} .

Do đó: z = a + bi = r(cos{\varphi} + isin{\varphi}) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1.3. Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cos{\varphi} + isin{\varphi})

Ta có: r = \sqrt{a^2 + b^2}, tan{\varphi}= \left({ \dfrac{b}{a}}\right)} , nếu a \ne 0 .

a = rcos{\varphi} ; b = rsin{\varphi} .

Từ định nghĩa của số phức liên hợp \overline{z} của z và biểu diễn hình học của \overline{z} , ta có:

|{\overline{z}}| = |z| ; arg({\overline{z}}) = -argz

Tình huống:

z = r(cos{\varphi} - isin{\varphi}) .có phải là dạng lượng giác của số phức z?

Ví dụ:

1. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a. z = -2 +2i{\sqrt{3}} \qquad b. z = 1+i \qquad c. z = 1- i

d. z = -\cos \left( \dfrac{\pi}{7} \right) + i.\sin \left( \dfrac{\pi}{7} \right) \qquad e. z = \sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right) + i.\cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right)

II. Những phép tính cơ bản trên số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là z = r_1(cos{\varphi}_1 + isin{\varphi}_1) , w = r_2(cos{\varphi}_2 + isin{\varphi}_2) .

1. Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)

2. Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:

z.w = r_1.r_2(cos({\varphi}_1 +{\varphi}_1) + isin({\varphi}_1 +{\varphi}_1)) (3)

Nhận xét: z.{\overline{z}} = a^2 + b^2 = | z |^2 , |z.w| = |z|.|w| , |z^n| = |z|^n ; Arg(z^n) = nArgz + k2{\pi}

3. Phép chia 2 số phức.

3.1 Bổ đề:

Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức z_1 sao cho z.z_1=1 . Khi đó z_1 được gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu z^{-1} . Vậy z^{-1} = { \dfrac{1}{z}} .

Chứng minh

Ta cần tìm z_1 = c + di sao cho z.z_1 = 1 .

Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1

Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1

Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được: c = { \dfrac{a}{a^2+b^2}} ; d = { \dfrac{-b}{a^2+b^2}}

Vậy z_1 tồn tại.

Do đó: z^{-1} = { \dfrac{a}{a^2 + b^2}} - { \dfrac{b}{a^2 + b^2}}.i (4)

Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm z^{-1} = 1/z bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp \overline{z}

3.2 Phép chia hai số phức:

Giả sử w \ne 0 . Khi đó:

{ \dfrac{z}{w}} = { \dfrac{z.\overline{w}}{w.\overline{w}}} = { \dfrac{(a+bi).(c-di)}{c^2+d^2}} = { \dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}} (5)

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:

{ \dfrac{z}{w}} = { \dfrac{r_1}{r_2}}(cos({\varphi}_1 - {\varphi}_1) + isin({\varphi}_1 - {\varphi}_1)) (6)

4. Các ví dụ:

1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w, z – w, z.w, z/w.

2. Tính (1+i)^2 , (1+i)^4 . Suy ra (1+i)^{2008} , (1-i)^{210908}

3. (3-i).(14+2i) ; { \dfrac{2+3i}{1 - 4i}} ; { \dfrac{(1 + 2i)^2}{1-i}}

4. { \dfrac{(1+i)^9}{(1-i)^7}} ; 1 + (1+i) + (1+i)^2 + ... + (1+i)^{99}

5. Tìm modun của các số phức sau: \dfrac{(1+i)^4}{(1+6i)(2-7i)}

38 responses to “Số phức (Complex Number)

  1. phần kiến thức này thiếu luỹ thừa số phức và khai căn số phức thì phải? kiến thức này là kiến thức cơ bản tìm kiến thức nâng cao ở đâu vậy các bạn? chỉ giúp mình với được không?

    • Bài này có 2 trang mà em, em mới có trang 1 thôi. Phần em nói nằm ở trang 2. Em di chuyển xuống cuối bài viết sẽ có dòng báo bài viết đó có bao nhiêu trang. Em nhấn vào các trang kế tiếp để đọc tiếp nhé.

  2. Thay` oi thay` xem lai phan` bai tap so phuc xem?Bai`1 o phan` 1,7 nho ket qua thay` dua len sai phai ko thay`?

  3. xin cho biết các ứng dụng của số phức trong cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật

  4. Q:”xin cho biết các ứng dụng của số phức trong cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật”
    A:”Số phức” nghe thì có vẻ rất khó hiểu với các ban đang học toán phổ thông, khi lên ĐH các bạn sẽ gwpj số phức giúp giải “các bài toán trong rất nhiều môn toán, lý, hóa, điện tử, mật mã ..” một cách dễ dàng

    Sau khi học rất nhiều môn đó các bạn sẽ thấy số phức chỉ là 1 trường hợp thể hiện của các trường số, cũng như “tư duy về các vấn đề kỹ thuật, triết học, xã hội học” . Ví dụ như “tư duy hướng đối tượng”, “tư duy định nghĩa lại các phép toán”, “tư duy hành vi”..

    Kiến thức hẹp hòi, có thể mình sai, mong các bạn chỉ giáo
    Notes: Mình đã và đang học tại 3 trường đại học(2 trường kỹ thuật+1 trường Kinh doanh) nhưng chưa lấy đc bằng nào =)) , phải thi lại và học lại rất nhiều môn, và nhiều lần cho mỗi môn, lý do vì những câu hỏi như của ban “tran van dung”, haha

  5. e chao thay a. thay oi thay giup e giai bai nay voi:
    CMR: |a+b|*|a+b|>=1/2(|a|+|b|)(a/|a|+b/|b|), a,b la 2 so phuc bat ki.
    e cam on thay a:)

    • Bạn ơi, bên trái là số thực, còn bên phải là số phức thì sao so sánh được với nhau vậy? Theo mình biết 2 số phức không thể so sánh được với nhau nên cũng không thể so sánh giữa số thực (phần ảo bằng 0) với số phức được. Bạn kiểm tra lại nhé.

  6. Chào Thầy, mong thầy có thể giải giúp em bài toán này ạ?
    Tính z = i^{i}. Cảm ơn Thầy nhiều ạ!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s