Chia một đa thức cho tam thức bậc 2

Khi chia một đa thức bậc n cho 1 đa thức bậc 2, ta sẽ được thương là một đa thức bậc n – 2 và phần dư là nhị thức bậc nhất. Nếu đặt phép chia đa thức ta sẽ xác định được kết quả cần tìm, tuy nhiên, việc làm này vừa tốn thời gian, vừa dễ sai sót. Ta sẽ xây dựng sơ đồ thuật toán để có thể xác định nhanh chóng các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư giống như sơ đồ Hooc-ne chia đa thức cho nhị thức bậc nhất.

Giả sử, đa thức bị chia bậc n có dạng:

P_{n} = {a_{0}.x^{n} + a_{1}. x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + ... + a_{n-2} .x^{2} + a_{n-1}.x + a_{n}}

Ta xét trường hợp tam thức bậc 2 có dạng: {x^{2} + px  + q} . (trường hợp hệ số của {x^{2} \ne 1} dành cho các bạn tự xem xét). Đa thức thương:

Q(x) = b_{0}.x^{n-2} + b_{1}. x^{n-3} + b_{2}x^{n-4} + ... + b_{n-4} .x^{2} + b_{n-3}.x + b_{n-2}

Và phần dư: R(x) = cx + d .

Ta có:

{a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ ...+ a_{n-2}x^{2}+a_{n-1}x + a_{n}} = \\ {(x^{2} + px + q)}.{(b_{0}x^{n-2}+b_{1}x^{n-3}+...+b_{n-4}x^{2} +b_{n-3}x + b_{n-2})} \\ + {(cx + d)}

Đồng nhất các hệ số ta có:

\left \{ \begin{array}{l} {a_{0} = b_{0}} \\{a_{1} = b_{1} + p.b_{0}} \\{a_{2} = b_{2} + p.b_{1}+q.b_{0}} \\{a_{3} = b_{3} + p.b_{2}+q.b_{1}} \\{a_{4} = b_{4} + p.b_{2}+q.b_{1}} \\{\cdots} \\{a_{i} = b_{i} + p.b_{i-1}+q.b_{i-2}} \\{\cdots} \\{a_{n-2} = b_{n-2} + p.b_{n-3}+q.b_{n-4}} \\{a_{n-1} = c + p.b_{n-2}+q.b_{n-3}} \\{a_{n} = d + q.b_{n-2}} \end{array} \right.

Từ đây ta sẽ xác định được các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư như sau:

\left \{ \begin{array}{l} {b_{0} = a_{0}} \\{b_{1} = a_{1} - p.b_{0}} \\{b_{2} = a_{2} - p.b_{1} - q.b_{0}} \\{b_{3} = a_{3} - p.b_{2} - q.b_{1}} \\{b_{4} = a_{4} - p.b_{2} - q.b_{1}} \\{\cdots} \\{b_{i} = a_{i} - p.b_{i-1} - q.b_{i-2}} \\{\cdots} \\{b_{n-2} = a_{n-2} - p.b_{n-3} - q.b_{n-4}} \\{c = a_{n-1} - p.b_{n-2} - q.b_{n-3}} \\{d = a_{n} - q.b_{n-2}} \end{array} \right.

Dựa trên hệ đẳng thức trên ta có thể lập bảng thuật toán sau để có thể xác định nhanh các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư khi chia một đa thức bậc n cho tam thức bậc hai:

Đầu tiên, dựa vào đẳng thức xác định các hệ số b_{0}, b_{1} và d. Ta sẽ có bảng sau:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x) & b_{0} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Ta xác định các hệ số còn lại dựa vào đẳng thức sau:

{b_{i} = a_{i} - p.b_{i-1} - q.b_{i-2}}

Xác định hệ số b1:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a1 ta sẽ có hệ số b1.

Xác định hệ số b2:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & -p.b_{1} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} &-q.b_{0}& {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & b_{2} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a2 ta sẽ có hệ số b2.

Ta xác định hệ số b3 hoàn toàn tương tự, ta có:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & -p.b_{1} & {} & -p.b_{2} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} &-q.b_{0}& {} & -q.b{1} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & b_{2} & {} & b_{3} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a3 ta sẽ có hệ số b3.

Các hệ số còn lại được xác định hoàn toàn tương tự. Ta có bảng thuật toán tổng quát sau:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c | c c c} P_{n}&a_{0}&{}&a_{1}&{}&a_{2}&{}&a_{3}& \cdots &a_{n-3}&{}& a_{n-2}&a_{n-1}&{}&a_{n} \\ \hline -p&0&{}&-pb_{0}&{}&-pb_{1}&{}&-pb_{2}& \cdots &-pb_{n-4}&{}&-pb_{n-3}&-pb_{n-2}&{}&0 \\ \hline -q&0&{}&0&{}&-qb_{0}&{}&-qb{1}& \cdots &-qb_{n-5}&{}&-qb_{n-4}&-qb_{n-3}&{}&-qb_{n-2} \\ \hline Q(x)&b_{0}&{}&b_{1}&{}&b_{2}&{}&b_{3}& \cdots &b_{n-3}&{}&b_{n-2}&c&{}&d \\ \end{array}

Ví dụ 1:

Chia đa thức {4x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - x} cho {x^{2} - x + 1}

Ta lập bảng thuật toán sau:

\begin{array}{c| c c c c c c | c c c} P_{n}&4&{}&-3&{}&2&{}&-1&{}&0 \\ \hline 1&0&{}&4&{}&1&{}&-1&{}&0 \\ \hline -1&0&{}&0&{}&-4&{}&-1&{}&1 \\ \hline {}&4&{}&1&{}&-1&{}&-3&{}&1 \\ \end{array}

Vậy ta có:

{4x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - x} = {(x^{2} - x + 1)}.{(4x^{2} + x - 1)} -3x + 1

Ví dụ 2:

Chia đa thức {x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} cho {x^{2} - 2x + 3}

Tương tự, áp dụng sơ đồ thuật toán ở trên ta sẽ có:

\begin{array}{r| r r r r r r r r r | r r r} P_{n}&1&{}&-1&{}&1&{}&-1&{}&1&-1&{}&1 \\ \hline 2&0&{}&2&{}&2&{}&0&{}&-8&-14&{}&0 \\ \hline -3&0&{}&0&{}&-3&{}&-3&{}&0&12&{}&21 \\ \hline {}&1&{}&1&{}&0&{}&-4&{}&-7&-3&{}&22 \\ \end{array}

Vậy ta có:

{x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} \\ =  {(x^{2} - 2x + 3)}.{(x^{4} + x^{3} - 4x - 7)} -3x + 22


Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, bạn sẽ thiết lập được sơ đồ thuật toán để tính nhanh kết quả của phép chia một đa thức bất kỳ cho một đa thức bậc 3, bậc 4, …

Bạn hãy thử xem thế nào nhé!

2Bo02B – thunhan.wordpress.com

9 responses to “Chia một đa thức cho tam thức bậc 2

  1. em xem lại phần tìm các hệ số b_i của đa thức thương, em sẽ thấy các hệ số luôn liên quan đến – p, – q – đối của hai hệ số trong tam thức bậc hai x^2 + px +  q

  2. em chào thầy .em có một bài toán nhưng chưa tìm ra lời giải ,thầy giúp em được không ạ
    bài toán về đại số như sau:

    cho f: v->v là một toán tử tuyến tính ,v là không gian véc tơ trên trường R (số thực) , sao cho đa thức đặc trưng của f có đầy đủ nghiệm và tất cả các nghiệm đều là nghiệm thực. hỏi rằng có tồn tại hay không sở của v mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng tam giác trên.nếu có hãy chứng minh , còn nếu không thì hãy đưa ra một ví dụ rồi phân tích.
    em cảm ơn thầy

  3. Ở đây có hai trường hợp có khả năng xảy ra:
    – Nếu đa thức đặc trưng có tất cả n nghiệm thực (n GTR) và với n GTR đó tương ứng với n VTR độc lập tuyến tính: thì trường hợp này chắc chắn sẽ tồn tại 1 cơ sở của v trong đó f có ma trận chéo.

    – Nếu ứng với n GTR không có đủ n VTR, (thường rơi vào trường hợp GTR là nghiệm bội), trườn hợp này, em có thể xem bài 38 phần Giá trị riêng – Vectơ riêng ở sách bài tập Đại số tuyến tính của Hoàng Xuân Sính và Trần Phương Dung để biết hướng chứng minh.

    Chúc em thành công

  4. Em cảm ơn Thầy nhiều .Cái này hay quá Thầy ạ.Em tìm mãi mới thấy.Chúc Thầy nhiều sức khỏe.

  5. híc em comment nhầm chỗ😦 thầy ơi thế nếu hệ số của x^2 khác 1 thì phải làm thế nào ạ?😦

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s