Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết được tốc độ thay đổi của hàm số khi cho 1 trong các biến số thay đổi giá trị.  Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 biến z = f(x,y) khi cho cả hai biến số thay đổi.

Xét hàm số z = f(x,y) (x_0 ; y_0) là điểm thuộc miền xác định D. Ta cho x, y thay đổi 1 lượng tương ứng {\Delta}x , {\Delta}y sao cho (x_{0} + {\Delta}x ; y_{0} + {\Delta}y) \in D. Khi đó, giá trị của hàm số sẽ thay đổi một lượng:

{\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)

1. Định nghĩa 1:

Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi tại điểm (x_0;y_0) nếu số gia toàn phần {\Delta}f(x_0;y_0) có thể biểu diễn được dưới dạng:

{\Delta}f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +B.{\Delta}y +{\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y (1)

trong đó A, B là những số không phụ thuộc Δx, Δy; còn α, β → 0 khi Δx, Δy → 0

Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại (x_0;y_0) ứng với các số gia Δx, Δy và được ký hiệu df(x_0;y_0)

Ví dụ:

Xét hàm số z = x^3 + y^3 . Ta có:

{\Delta}f(x_0;y_0) = (x_0 + {\Delta}x)^3 + (y_0 + {\Delta}y)^3 - x_0^3 - y_0^3

Hay:

{\Delta}f(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y + 3x_0.{\Delta}x^2 + 3y_0.{\Delta}y^2 + {\Delta}x^3 + {\Delta}y^3

Do đó:

A = 3.x_0^2 ; B = 3.y_0^2, {\alpha} = 3x_0.{\Delta}x + {\Delta}x^2 ; {\beta} = 3y_0.{\Delta}y + {\Delta}y^2

Cho nên hàm số khả vi tại (x_0;y_0) df(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y

Nhận xét:

1. Xét {\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y = \left({\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right).{\rho} , {\rho} = \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2}

Cho {\Delta}x \to 0 , {\Delta}y \to 0 thì \rho \to 0 . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:

0 \le \epsilon = \left | {\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right| \le \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2} \to 0

Do đó, ε là VCB khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng:

{\Delta}f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +B.{\Delta}y +{\theta}{\rho} , 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn ρ.

2. Ta không thể dùng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số z = sinx.cosy như ở ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm số dạng đa thức, còn các hàm số khác thì không thể dùng định nghĩa để khảo sát sự khả vi tại 1 điểm. Vì vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.

3. Hàm số z = f(x,y) được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D.

2. Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số khả vi)

Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi tại (x_0;y_0) thì nó liên tục tại điểm đó.

Chứng minh:

Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có:

\lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} {\left[f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)\right]} = 0

Vậy: \lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) = f(x_0 ; y_0)

Do đó, hàm số liên tục tại (x_0; y_0) .♦

Nhận xét:

1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tục tại (x_0;y_0) thì sẽ không khả vi tại điểm đó.

2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó.

3. Định lý 2:

Nếu f(x;y) khả vi tại (x_0;y_0) thì nó có các đạo hàm riêng f '_x , f '_y tại (x_0; y_0) và chúng tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của định nghĩa hàm số khả vi.

Chứng minh:

Thật vậy, từ công thức (1) ta cho \Delta y = 0 , ta được:

f(x_0 +{\Delta}x; y_0) -f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +{\alpha}.{\Delta}x

trong đó α →0 khi Δx → 0.

Do đó:

\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} { \dfrac{f(x_0+{\Delta}x ; y_0) - f(x_0 ; y_0)}{{\Delta}x}} = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} (A + \alpha ) = A

Vậy f'_x (x_0; y_0) = A

Hoàn toàn tương tự ta có: f'_y (x_0; y_0) = B

Nhận xét:

1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại (x_0;y_0) thì vi phân toàn phần của hàm số tại (x_0; y_0) được xác định bởi:

df(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}. {\Delta}x + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}. {\Delta}y

2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó đã khả vi tại điểm đó. Ta xét hàm số sau:

G(x;y) = \left \{ \begin{array}{cc}  { \dfrac{xy}{x^2  + y^2}} & ,(x,y) \ne (0;0) \\ 0 & , (x,y) = (0;0) \end{array}  \right.

Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta có:

G_x(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0) - G(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0)}{h}} = 0

Tương tự ta có: G_y(0;0) = 0 nhưng hàm số G(x;y) không liên tục tại (0; 0) (xem phần giới hạn hàm nhiều biến) nên không khả vi tại (0;0)

4. Định lý 3 (Điều kiện đủ để hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) có các đạo hàm riêng trong một miền D chứa điểm M(x_0;y_0) . Nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.

5. Các ví dụ:

1. Cho hàm: f(x;y) = \left\{\begin{array}{cc} { \dfrac{2xy}{x^2+y^2}} & \text{khi} (x;y) \ne (0;0) \\ 0 & \text{khi} (x;y) = (0;0) \\ \end{array} \right.

Tính { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0;0) { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0) . Hàm có khả vi tại (0;0) hay không?

Giải

Để tính các đạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng định nghĩa mà không thể thế giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm

Ta có:

{ \dfrac{\partial f}{\partial x}}(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{f(0+h;0)-f(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{0 - 0}{h}} = 0

tương tự: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0) = \lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{f(0;0+h)-f(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{0 - 0}{h}} = 0

Mặc dù, hàm số có 2 đạo hàm riêng tại (0;0) nhưng không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã cho không liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta có.

\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)}f(x;y) = \lim\limits_{x \to 0} { \dfrac{2x.kx}{x^2+k^2x^2}} = { \dfrac{2k}{k^2+1}}

Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn tại.

Do đó: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} f(x;y) \ne f(0;0) = 0

Nên hàm số không liên tục tại (0;0) và do đó nó không khả vi tại (0;0)

2. Tìm vi phân của hàm số: z = ln(x+ \sqrt{x^2+y^2})

Hàm số luôn xác định và liên tục với mọi (x;y) \ne (0;0) nên khả vi tại mọi điểm (x;y) \ne (0;0) . Khi đó ta có:

df = { \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}}}+{ \dfrac{ydy}{\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right){\sqrt{x^2+y^2}}}}

25 responses to “Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

  1. với cách giải của thầy ứng dụng vói hàm 2 biến,mở rộng với hàm n biến, xét tính khả vi có làm tương tự không ạ?thầy có thể cho em một vd minh họa không ạ?em cảm ơn thầy nhìu

    • Sự khả vi của hàm 2 biến khác với sự khả vi của hàm 1 biến. Nhưng sự khả vi của hàm nhiều biến thì hoàn toàn tương tự nhau. Do đó, em có thể mở rộng với hàm n biến.

  2. Thầy giúp giùm em bài này :
    Tìm a để hàm số f(x) =sinx – ax/x^2 (x#0) khả vi tại x=0
    f(x) = 0 (x=0)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s