Mẹo tính nhanh tích phân từng phần

Trong chuyên mục hôm nay, chúng tôi xin giới thiệu một thuật toán (“mẹo”) , “chiêu”) nhằm giúp tính nhanh các tích phân có dạng tích phân từng phần.

Trước tiên, ta nhắc lại một chút về kiến thức của phép lấy tích phân theo từng phần:

Giả sử u và v là hai hàm số khả vi của x. Khi đó, như ta đã biết, vi phân của tích uv được tính theo công thức:

d(uv) = udv + vdu

Từ đó, lấy tích phân ta được:

uv = \int {udv} +  \int {vdu}

Hay là:

\int {udv} = uv -  \int {vdu} (1)

Công thức này gọi là công thứclấy tích phân từng phần. Công thức này thường được dùng để lấy tích phân các bểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai nhân tử u và dv, sao cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv của nó và việc tính tích phân \int {vdu} là những bài toán đơn giản hơn so với việc tính trực tếp tích phân \int {udv} . Ý nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số u và dv thường xảy ra trong quá trình giải các bài toán có dạng sau:

\int {P_{n}(x).sinaxdx} , \int {P_{n}(x).cosaxdx} , \int {P_{n}(x).e^{ax}dx} , \int {P_{n}(x).lnxdx}

trong đó Pn là đa thức bậc n.

Với các dạng trên, thì thông thường vai trò của u luôn là đa thức Pn , và dv là phần còn lại. Như vậy, ta có sơ đồ sau:

tptp.gif

Khi được tích phân mới, ta lại được một tích phân lại là một trong các dạng, và phần đa thức mới lại đóng vai trò là u, còn phần còn lại tiếp tục đóng vai trò là v…. Cứ thế cho đến khi bậc của đa thức là bậc 0 thì sẽ có kết quả. Như vậy, các đa thức luôn đóng vai trò u (nghĩa là lấy đạo hàm), còn phần cò lại luôn là dv (lấy tích phân), nên ta sẽ xây dựng thật toán gồm 2 cột: 1 cột chuyên lấy đạo hàm của đa thức cho đến khi giá trị bằng ; 1 cột luôn lấy tích phân tương ứng với cột kia. Sau đó, ghép các giá trị uv lại ta sẽ có kết quả. Hay ta có sơ đồ sau:

tptp1.gif

Ví dụ: Cần tính \int {(x^2 + 7x - 5).cos2x dx}

Ta lập sơ đồ như sau:

tptp2.gif

Khi đó, kết quả của tích phân này sẽ là:

(x^2+7x-5) { \frac{sin2x}{2}}+(2x+7) { \frac{cos2x}{4}} - { \frac{sin2x}{4}}

Ví dụ 2: Cần tính: \int {(x^3 + 4x^2 - 5x + 6).e^{-x} dx}

Ta có sơ đồ sau:

tptp3.gif

Vậy, dựa vào sơ đồ trên, ta có kết quả của bài toán là:

- {(x^3+4x^2-5x+6)e^{-x} }-{(3x^2+8x-5)e^{-x}}-{(6x+8)e^{-x}}-6e^{-x}

Hay:

- (x^3 + 7x^2 + 9x + 15)e^{-x}

Tóm lại, qua sơ đồ thuật toán và 2 ví dụ vừa trình bày, chúng tôi hy vọng đã cung cấp cho các bạn một chiêu giúp chúng ta tính kết quả của các tích phân từng phần một cách nhanh chóng, và hiệu quả mà không cần phải đặt u, v lòng vòng như sách giáo khoa đã trình bày.

39 responses to “Mẹo tính nhanh tích phân từng phần

  1. cach giai cua thay hay qua.cam on thay nhieu vi da chia se kinh nghiem.Kinh nghiem cua thay da giup do em rat nhieu

  2. em thầy cách này rất hay khi chúng ta giải quyết nhanh các bài tích phân có chưa hàm e mũ, hoặc sin cos. đỡ tốn giấy và nhức đầu.

  3. thầy ơi giúp e bài này với: có một bệnh nhân mà bác sỹ chẩn đoán là mắc bệnh A với xác suất là 70%, mắc bệnh B với xác suất là 30%. Để có thêm thông tin chẩn đoán bác sỹ đã cho xét nghiệm sinh hoá. Sau 3 lần thử thấy có một lần dương tính, biết rằng khả năng dương tính của mỗi lần xét nghiệm đối với bệnh A và bệnh B tương ứng là 10% và 30%. Hãy cho biết nên chẩn đoán bệnh nhân mắc bệnh nào? thầy ơi làm ơn hướng dẫn chi tiết hộ e, thanks thầy nhiều

  4. tụi em sắp thi môn xác suất thống kê rùi, học mãi mà vẫn hơi lơ tơ mơ, mà sao biến ngẫu nhiên liên tục lằng ngoằng thế thầy nhỉ?thầy làm ơn post lại bài giảng phần hàm phân phối và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên để em tham khảo với, em sắp thi đến nơi rồi. hu hu mà sao các bài tập thầy sưu tầm em ko mở được vậy?chẳng xem được j cả
    huuuuuuuuu kiu em với ko em chết mất

    • cách này hay thật, nhưng thầy ơi, tụi em có được sử dụng trong thi cử không ạ?

  5. em chào thầy,
    dạ thưa thầy em có 1 bài toán mong thầy giải giúp e
    tính tích phân (3x.e^lnx)

  6. Thưa thầy, nếu em làm bài tích phân từng phần sau khi biến đổi để có được dạng tích phân của udv và áp dụng trực tiếp công thức (1) (không đặt u và v) thì có được không ạ?
    Em cám mơn thầy.

    • Việc đặt u, v là để mình dễ dàng nhận diện dạng công thức tích phân từng phần. Cách này thường áp dụng đv phổ thông để HS dễ nhận diện. Tuy nhiên, nếu đã quen, em cũng có thể biến đổi trực tiếp.
      Ví dụ: \int x.cosx.dx = \int x.d(sinx) = xsinx - \int sinx.dx
      Cái này cũng tương tự như trường hợp đổi biến. Em có thể đổi biến hoặc biến đổi trực tiếp.
      Ví dụ: \int \dfrac{xdx}{1+x^4} = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{d(x^2)}{1+(x^2)^2} = \dfrac{1}{2} arctan(x^2) + C

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s