Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1ds

I. Đạo hàm (derivative)

1. Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, x_0 \in D .

Cho x_0 số gia {\Delta}x (không phân biệt dương hay âm) sao cho: x_0 +{\Delta}x \in D . Ta gọi {\Delta}y = f(x_0+{\Delta}x) - f(x_0) là số gia của hàm số y = f(x) .

Lập tỷ số:

\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = \dfrac{f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0)}{{\Delta}x}

Tìm giới hạn của tỉ số trên khi {\Delta}x . Khi đó, giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là đạo hàm của hàm số tại x_0 và ký hiệu f'(x_0)

Như vậy: f'(x_0) = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0)}{{\Delta}x}

Nếu đặt x = x_0 +{\Delta}x , ta có: f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Tổng quát: f'(x) = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{f(x+{\Delta}x)-f(x)}{{\Delta}x}

– Đạo hàm trái: nếu giới hạn \lim\limits_{{\Delta}x \to 0-} \dfrac{f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0)}{{\Delta}x} tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên  trái  của f(x) tại x_0 . Ký hiệu f_{-}^{'}(x_0)

– Đạo hàm phải: nếu giới hạn \lim\limits_{{\Delta}x \to 0+} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải của f(x) tại x_0 .  Ký hiệu f_{+}^{'}(x_0)

– Từ tính chất của giới hạn ta có định lý sau:

Hàm số f(x) có đạo hàm tại x_0 khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x_0 và các đạo hàm đó bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hàm số: f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x & ; x \le 1 \\ -x^2+2x & ; x \rm{>} 1 \\ \end{array} \right.

Tìm f'(1)

Ta có:

f_{+}^{'}(1) = \lim\limits_{x \to 1+} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1+} \dfrac{-x^2+2x-1}{x-1} = 0

f_{-}^{'}(1) = \lim\limits_{x \to 1-} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1-} \dfrac{x-1}{x-1} = 1

Vậy f_{+}^{'}(1) \ne f_{-}^{'}(1)

Do đó: f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

3. Các định lý về đạo hàm:

3.1 Định lý 1: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x_0 thì f(x) liên tục tại điểm đó. (Chiều ngược lại chưa chắc đúng).

Chứng minh: do f(x) có đạo hàm tại x_0 nên:

\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = f'(x_0)

Theo định nghĩa giới hạn, ta có \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = f'(x_0) + \epsilon (\epsilon \rm{<<} )

Từ đó: {\Delta}y = f'(x_0).{\Delta}x + {\epsilon}.{\Delta}x

Do \epsilon \rm{<<} , \epsilon \to 0 nên: {\epsilon}.{\Delta}x là VCB cấp cao hơn {\Delta}x khi {\Delta}x \to 0

Vì vậy: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} {\Delta}y = 0

Nghĩa là: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} f(x_0+{\Delta}x) - f(x_0) = 0

Hay: \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Vậy: f(x) liên tục tại x_0

– Chiều ngược lại không chắc đúng: ta xét lại ví dụ 1 ở trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

– Phản ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = |x| liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0.

3.2 Định lý 2: (quy tắc tính đạo hàm)

Nếu u(x) và v(x) là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích thương cũng có đạo hàm tại x và ta có các công thức:

1. (u \pm v)' = u' \pm v'

2. (u.v)' = u'.v + v'.u

3. \left( \dfrac{u}{v} \right)^{'} = \dfrac{u'.v-v'.u}{v^2}

3.3 Định lý 3: (đạo hảm hàm số hợp)

Nếu y = f(x) có đạo hàm tại x_0 z = g(y) xác định trong một khoảng chứa y_0 = f(x_0) và có đạo hàm tại y_0 . Khi đó: hàm z = g(f(x)) có đạo hàm tại x_0

z'(x_0) = g'(y_0).f'(x_0) (3.3)

Tổng quát: z_x^{'} = z_{y}^{'}.y_{x}^{'}

Chứng minh:

Ta có: \lim\limits_{{\Delta}y \to 0}\dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}y} = z_y^{'}(y_0)

Từ định nghĩa giới hạn, ta suy ra: \dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}x} = z_y^{'}(y_0) + \alpha (1)

trong đó \alpha \to 0 khi {\Delta}y \to 0

Viết lại đẳng thức (*) ta có: {\Delta}z = z_y^{'}(y_0).{\Delta}y + {\alpha}.{\Delta}y (2)

Chia 2 vế của (3) cho {\Delta}x ta có:

\dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}x} = z_y^{'}(y_0).{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}} +{\alpha} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}

Mặt khác, do : {\Delta}y = f(x_0+{\Delta}x) - f(x_0) nên {\Delta}x \to x thì {\Delta}y \to 0

Vậy: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \alpha = 0 (4)

Mà: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = y_x^{'}(x_0) (5)

Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:

\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}x} = z_y^{'}(x_0).y_x^{'}(x_0) .

3.4 Định lý 4: (đạo hàm hàm số ngược)

Cho hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng (a,b). Nếu f(x) có đạo hàm tại x_0 \in (a,b) f'(x_0) \ne 0 thì hàm ngược x = g(y) của f(x) cũng có đạo hàm tại y_0 = f(x_0) và:

g_y^{'}(y_0) = \dfrac{1}{f_x^{'}(x_0)} (3.4)

Chứng minh:

Vì f(x) là hàm đồng biến (nghịch biến) trong khoảng (a,b) nên tồn tại duy nhất hàm ngược x = g(y)

Khi đó, xét: \dfrac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} = \dfrac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \dfrac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} (*)

Cho x \to x_0 . do f(x) là hàm liên tục nên: f(x) \to f(x_0) , hay y \to y_o

Lấy giới hạn của (*) khi y \to y_0 . ta có:

g_y^{'}(y_0) = \dfrac{1}{f_x^{'}(x_0)} (dpcm)

Ví dụ 1: Cho y = arcsinx Tính y_x^{'}

Ta có: y = arcsinx \Rightarrow x = siny

Theo công thức (3.4), ta có: y_x^{'} = \dfrac{1}{x_y^{'}} = \dfrac{1}{cosy}

Mà do y = arcsinx \Rightarrow y \in \left[ -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right] \Rightarrow cosy \ge 0

Nên: cosy = \sqrt{1-sin^2y} = \sqrt{1-x^2}

Do đó:

(arcsinx)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1 \rm{<} x \rm{<} 1 )

Ví dụ 2: Cho y = arccosx . Tìm y_x^{'}

Ta có: y = arccosx \Rightarrow x = cosy

Nên: y_x^{'} = \dfrac{1}{x_y^{'}} = \dfrac{1}{-siny} = \dfrac{-1}{siny}

Lại có: y = arccosx \Rightarrow y \in [0,\pi] \Rightarrow siny \ge 0

Suy ra: y_x^{'} = \dfrac{-1}{siny} = \dfrac{-1}{\sqrt{1-cos^2y}} = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

Vậy:

(arccox)' = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} (-1 \rm{<} x \rm{<} 1 )

Ví dụ 3: Cho y = arctanx . Tính y_x^{'}

tương tự: y = arctanx \Rightarrow x = tany

Suy ra: y_x^{'} = \dfrac{1}{x_y^{'}} = \dfrac{1}{1+tan^2y} = \dfrac{1}{1+x^2}

Vậy:

(arctanx)' = \dfrac{1}{1+x^2}

Ví dụ 4: Cho y = (arcsinx)^{arctanx} \left( 0 \rm{<} x \le 1 \right) . Tìm y’?

Ta có: y = e^{(arctanx).ln(arcsinx)} \Rightarrow y' = e^{(arctanx).ln(arcsinx)}.((arctanx).ln(arcsinx))'

Lại có: ((arctanx).ln(arcsinx))' = \dfrac{ln(arcsinx)}{1+x^2} + \dfrac{arctanx}{(arcsinx).\sqrt{1-x^2}}

Vậy: y' = e^{(arctanx)ln(arcsinx)}. \left[ \dfrac{ln(arcsinx)}{1+x^2} + \dfrac{arctanx}{(arcsinx).\sqrt{1-x^2}} \right] (\rm{0 < x < 1})

(còn tiếp)

3 responses to “Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)

  1. Thầy ơi, em muốn hỏi nếu 2 hàm số không có đạo hàm tại x0 thì có thể khẳng định tổng của nó không có đạo hàm tại x0 không thầy?
    Hoặc nếu chỉ một trong 2 hàm f và g có đạo hàm tại x0 cũng hỏi tương tự luôn thì có đúng không? Mong thầy giúp em.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s