Xác suất có điều kiện

1. Định nghĩa:

Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A. Và kí hiệu là P(A/B).

Thí du: Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của ACB và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của ACB.

Giải: Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“. Ta cần tìm P(A/B).

Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên : P(A/B) =  \dfrac{4}{9}

2. Công thức nhân xác suất

a. Công thức: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại:

P(A.B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)

Chứng minh: Giả sử phép thử có n kết quả cùng khả năng có thể xảy ra mA kết quả thuận lợi cho A, mB kết quả thuận lợi cho B. Vì A và B là hai biến cố bất kì, do đó nói chung sẽ có k kết quả thuận lợi cho cả A và B cùng đồng thời xảy ra. Theo định nghĩa cổ điển của xác suất ta có: P(A.B) =  \dfrac{k}{n};  P(A) = \dfrac{m_A}{n}

Ta đi tính P(B/A).

Với điều kiện biến cố A đã xảy ra, nên số kết quả cùng khả năng của phép thử đối với biến B là mA, số kết quả thuận lợi cho B là k. Do đó:P(B/A) = \dfrac{k}{m_A}

Như vậy: P(A.B) =   \dfrac{k}{n}=  { \dfrac{m_A}{n}}.{ \dfrac{k}{m_A}}  = P(A).P(B/A)

Vì vai trò của hai biến cố A và B như nhau. Bằng cách chứng minh tương tự ta được: P(A.B) = P(B).P(A/B)♦

(chứng minh trên được tham khảo từ giáo trình Xác suất thống kê của tác giả Hoàng Ngọc Nhậm – NXB Thống Kê)

Ví dụ:

1. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe BMW”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.

Giải: Gọi A là biến cố “nắp khoen đầu trúng thưởng”. B là biến cố “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”. C là biến cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”.

Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng. p(A) = 2/20

Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng. Do đó: p(B/A) = 1/19.

Từ đó ta có: p(C) = p(A). p(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053

2. Áo Việt Tiến trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Giải:

Gọi A là biến cố ” qua được lần kiểm tra đầu tiên”, B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2″, C là biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”

Thì: p(C) = p(A). p(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931

3. Lớp Lý 2 Sư Phạm có 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK, biết rằng sinh viên đó là nữ?

Giải:

Gọi A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”, B là biến cố gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK”, C là biến cố “gọi được sinh viên nữ đạt điểm giỏi”

Thì ta có: p(C) = P(B/A)

Do đó: p(C) = p(B/A) = \dfrac{p(AB)}{p(A)} = { \dfrac{11}{95}}.{ \dfrac{55}{95}} = { \dfrac{11}{55}} =0,2

b. Các định nghĩa về các biến cố độc lập:

* Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại.

* Ta có thể dùng khái niệm xác suất có điều kiện để định nghĩa các biến cố độc lập như sau:

Nếu P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A và B độc lập với nhau.

Trong trường hợp việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm cho xác suất xảy ra của biến cố kia thay đổi thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.

Thí dụ: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu. Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh“. Hiển nhiên P(A) = 5/9 . Quả cầu lấy ra được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh“, P(B) = 5/9. Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau.

Ta chú ý rằng: nếu A và B độc lập, thì A , {\overline{B}} hoặc {\overline{A}} , B hoặc {\overline{A}} , {\overline{B}} cũng độc lập với nhau.

Trong thực tế việc nhận biết tính độc lập, phụ thuộc, xung khắc của các biến cố. chủ yếu dựa vào trực giác.

* Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp hai biến cố bất kỳ trong n biến cố đó độc lập với nhau.

Thí dụ: Xét phép thử từng đồng xu 3 lần. Gọi Ai là biến cố: “được mặt sấp ở lần tung thứ i” (i = 1, 2, 3). Rõ ràng mỗi cặp hai trong 3 biến cố đó độc lập với nhau. Vậy A1, A2, A3 độc lập từng đôi.

* Định nghĩa 3: các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng phần nếu mỗi biến cố độc lập với tích của một tổng hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại.

Ta chú ý là các biến cố độc lập từng đội thì chưa chắc độc lập toàn phần. Điều kiện độc lập toàn phần mạnh hơn độc lập từng đôi.

c) Hệ quả: Từ định lý trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau đây:

Hệ quả 1:

Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A.B) = P(A).P(B).

Hệ quả 2:

Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của các biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tấc cả các biến cố trước đó đã xảy ra:

P(A_1.A_2 ... A_n) = P(A_1).P(A_2/A_1).P(A_3/A_1.A_2) ... P(A_n/A_{1}...A_{n-1})

Hệ quả 3:

Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích xác suất của các biến cố đó:

P(A1.A2 … An) = P(A1).P(A2) … P(An)

129 responses to “Xác suất có điều kiện

  1. Xin thầy giải dùm em bài này, nó rắc rối quá.
    Một nhà sản xuất kẹo , mỗi hộp có 10 kẹo . Hai máy được sử dụng. Sau khi một lô lớn được sản xuất người ta phát hiện 1 máy bị trục trặc dẫn đến 10% số kẹo không tinh khiết, và số kẹo do máy đó sản xuất chiếm 40% .Người ta lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ một hộp và phát hiện kẹo tinh khiết.Tính xác suất hộp kẹo đó do máy bị trục trặc sản xuất.

    • có j` đâu mà rắc rối nhỉ?! bài này khá đơn giản mà. chỉ sử dụng thuần 1 công thức bayes thui.

  2. Mong thầy giúp em bài này: Một máy tính gồm 1000 linh kiện A,800 linh kiện B và 2000 linh kiện C. Xác suất hỏng của 3 linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125% và 0,005%. Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1. Các linh kiện hỏng độc lập với nhau.
    a) xác suất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng.
    b) xác suất để máy tính ngưng hoạt động.
    c) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng. Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động

    • mình thử làm nhé sai mong các bạn chỉ bảo
      A) Ta tìm xác xuất để không có linh kiện B nào hỏng
      p(0)=800C0*0.0125^0*(1-0.0125%)^800=0.905
      vay xác xuất để có nhiều hơn 1 lk b hỏng là 1-0.905=0.095
      B)Ta tìm xác xuất để máy tính hoạt động đc
      Gọi A là sự kiện 1 linh kiện a hỏng
      Gọi B là sự kiện 1 linh kiện B hỏng
      Gọi C là sự kiện 1 linh kiện C hỏng
      H là sự kiện máy tính hoạt động đc
      H=A~.B.C+A.B~.C+A.B.C~(A~,B~,C~ là phủ định của A B C)
      P(H)=P(A~.B.C+A.B~.C+A.B.C~)
      =P(A~).P(B).P(C)+P(A).P(B~).P(C)+P(A).P(B).P(C~)
      P(A)=1000C1*0.02%^1*(1-0.02%)^999
      P(B)=800C1*0.0125%^1*(1-0.0125%)^999
      P(C)=2000C1*0.005%^1*(1-0.005%)^999
      ……………
      C) P(H~/A~.B.C+A.B~.C+A.B.C~)
      =P(H~*(A~.B.C+A.B~.C+A.B.C~))/P(H)
      =p(H~)/P(H)

  3. Một bác sĩ có 12 bệnh án trong đó có 5 bệnh án của bệnh nhân nặng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy bệnh án để nghiên cứu nếu
    a. Lấy 5 bệnh án tùy ý trong đó có 2 là của bệnh nhân nặng.
    b. Lấy 8 bệnh án có chọn lọc trong đó có 3 là của bệnh nhân nặng.

    • Đề bài của em ở câu b có dữ kiện “Lấy 8 bệnh án có chọn lọc”, đây là dữ kiện không rõ ràng nên câu b không thể giải quyết được.

  4. thầy giải giúp em bài này với
    4 người lần lượt tung đồng xu cho đến khi có người đc mặt ngửa thì dừng. tính xác xuất thắng của mỗi người chơi

    • Xác suất thắng của người 1 là: 0.5+0.5*0.5^4+……=0.5/(1-0.5^4)
      Xác suất thắng của người 2 là: 0.5(0.5+0.5*0.5^4+……)=0.5*0.5/(1-0.5^4)
      Xác suất thắng của người 3 là: 0.5*0.5(0.5+0.5*0.5^4+……)=0.5^3/(1-0.5^4)
      Xác suất thắng của người 4 là: 0.5*0.5*0.5(0.5+0.5*0.5^4+……)=0.5^4/(1-0.5^4)

  5. Mong Thày và các bạn giải cho em bài toán:
    Có hai hộp bi, mỗi hộp có 6 viên. Hộp 1 có 4 xanh, 2 trắng. Hộp 2 có 3 xanh, 3 trắng. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 2 viên bi , rồi trong 4 viên bi đó lấy ra 1 viên bi. Tính xác suất viên bi lấy ra là bi xanh.

    Mong có hồi âm trong thời gian sớm nhất!

  6. Em thưa thầy là ví dụ 3 phần b sao ta không dùng công thức P(B1/A)=P(B1A)/P(A) và em vẫn không thể phân biệt được P(AB1) và P(A/B1) (theo em hiểu thì là xác suất lấy ra chính phẩm của phân xưởng 1).em xin cảm ơn

  7. thầy cho em hỏi bài này với ạ:
    Trong bình cầu có a cầu trắng và b cầu đen. Hai người lần lượt lấy ra từng quả cầu theo phương thức có hoàn lại. Tính xác suất để người thứ nhất lấy được quả cầu trắng trước?

  8. thầy ơi giúp em bài này vớ ạ. có bao nhiêu cách phân tích 100 thành tổng của 3 số nguyên dương. và tổng quát hóa lên là:có bao nhiêu cách phân tích số n thành tổng của k số nguyên (k<n) em cảm ơn ạ

  9. thầy hướng dẫn em 3 bài này với ạ :D

    1)Tại một siêu thị mỗi khách hàng sẽ vào mua ít nhất 1 trong 3 loại hàng A,B,C.Xs mua A là 0.42.Đối với 2 loại hàng B và C nếu đã mua loại này thì xs mua loại kia đều là 4/7.Ngoài ra xs mua cả 3 loại là 0.03
    a. Tìm xs khách mua A hoặc B
    b. Trong 3 loại trên xs mua loại nào là lớn nhất

    2)Tại một cửa hàng xe, xs khách mua 3 loại xe A,B,C theo thứ tự là 0.16, 0.32, 0.16.Trong số khách mua A tỉ lệ mua cả B và C là 0.25.Trong số khách mua B, tỉ lệ khách mua A là 0.25.Tỉ lệ khách không mua A, B nhưng mua C là 0.12.Tìm xs để 1 khách:
    a. không mua cả A và B
    b. mua cả B và C

    3)1 ô tô chở 3 hộp, mỗi hộp có 3 bi giống nhau có ghi nhãn 1,5,9;3,4,8;2,6,7. Người A chọn 1 hộp rồi chọn 1 bi từ hộp đó. Người B chọn 1 hộp từ 2 hộp còn lại và chọn 1 bi. Nhãn của bi ai lớn hơn sẽ thắng. Bạn sẽ chọn A hay B?

    • Bài 1: Bài này có thể thiếu dữ kiện em à.
      Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố khách mua loại hàng A, B, C tương ứng.
      Vì giả thiết không nói gì đến việc mua B , C có phụ thuộc gì A hay không. Do đó, giả sử biến cố A độc lập với B, C.
      Khi đó: do khách sẽ mua ít nhất 1 trong 3 sp nên P(A+B+C) =1
      Mà: P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)
      Từ giả thiết: “Đối với 2 loại hàng B và C nếu đã mua loại này thì xs mua loại kia đều là 4/7″ ta có B, C là 2 biến cố phụ thuộc và P(B|C) = P(C|B) = 4/7 => P(BC)/P(C) = P(BC)/P(B) = 4/7 => P(B) = P(C).
      Do đó: P(A+B+C) = P(A) + 2P(B) – P(A).P(B) – P(A).P(C) – P(B).P(C|B) +P(ABC)
      Hay: 1 = 0.42 + 2P(B) – 0.84.P(B) – (4/7)P(B) + 0.03 => P(B) = 0.9345 (*)
      Mặt khác: từ P(ABC) = 0.03 => P(A).P(B|A).P(C|AB) = 0.03
      Mà A độc lập với B, C nên: P(A).P(B|A).P(C|AB) = P(A).P(B).P(C|B) = 0.03 => 0.42.P(B).4/7 = 0.03 => P(B) = 0.125 (**)
      Như vậy, (*) và (**) mâu thuẫn nhau. Chứng tỏ A không thể độc lập với B và C.
      Mà nếu vậy thì chưa đủ dữ kiện để giải quyết bài toán này.

      • cảm ơn thầy :D thế còn bài 2 thì sao ạ, bài 3 thì em làm đc rồi :)

      • Bài 2 thì từ giả thiết em có:
        P(A) = 0.16 ; P(B) = 0.32 ; P(C) = 0.16 ; P(BC|A) = 0.25 ; P(A|B) = 0.25 ; P(C|\overline{AB}) = 0.12
        Cần tìm P(\overline{AB}) = 1 - P(A+B) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB) (không mua cả A và B là phủ định của mua A hoặc B)
        Từ gt ta thấy: A, B không độc lập nên P(AB) = P(A).P(B|A)
        Vậy P(\overline{AB}) = 1 - P(A) - P(B) + P(A).P(B|A) = 0.56

  10. Thầy ơi giải giúp em bài này với ah
    Bình A :5 bi đỏ , 3trắng
    Bình B :1 đỏ , 2trắng
    Ta tung con xúc xắc nếu xuất hiện mặt 3 hay mặt 6 thì lấy 1 bi đỏ ở bình B bỏ qua bình A rồi rút tiếp 1 bì từ bình A. Nếu con xúc xắc ra mặt khác thì lấy 1 bi ở bình A bỏ vào bình B. Tính xác suất để bi lấy lần cuối là bình đỏ.
    thanks thầy nhìu!!!

  11. Thầy ơi giúo em với:
    Gieo 5 lần 1 đồng tiền cân đố và đồng chất. Tìm XS xuất hiện:
    a. Đúng 1 lần sấp.
    b. 2 lần sấp.
    c. Ít nhất 1 lần sấp.
    Em cảm ơn thầy

    • Gieo 5 lần 1 đồng tiền cân đối và đồng chất thì XS mỗi lần gieo xuất hiện mặt sấp là như nhau: 0.5 và XS xuất hiện mặt ngửa (ko sấp) cũng là 0.5. Như vậy gieo 5 lần ứng với việc thực hiện 5 phép thử Bernoulli (phép thử ở đây là gieo đồng tiền). Như vậy, đây là mô hình Bernoulli, em chỉ việc áp dụng công thức Bernoulli sẽ có kết quả.

  12. thầy và các bạn giải dùm mình bài này nha: Có 3 loại súng bề ngoài giống nhau,xs bắn trúng bia tương ứng là 0.6 0.7 0.8,loại 1 có 5 khẩu,loại 2 có 3 khẩu,loại 3 có 2 khẩu.Chọn ngẫu nhiên 1 khẩu và bắn vào bia.Tính xs trúng bia.cảm ơn thầy và các bạn!

  13. thầy và các bạn giải gium mình bài này nhé:
    một hộp thuốc có 12 ống trong đó có 8 ống là peni. lấy ngẫu nhiên lần lượt 4 ống.
    a. Tìm xác suất để cả 3 ống là peni
    b.Tìm xác xuất để lần 3 lấy ra là peni

  14. Thầy giải giúp em bài này với : trong 1 nhóm sinh viên ,có 1% trong số sinh viên nữ cao hơn 1,83m , 4% trong số sinh viên nam cao hơn 1,83m . số sinh viên nữ là 60% . tính xs để có 1 sinh viên cao hơn 1,83 và là nữ .
    Em cảm ơn thây

  15. thay lam on giai giup em bai nay voi! em ko go tieng Viet co dau duoc, mong thay thong cam.
    co 2 lo hang.
    lo 1 co 7 chinh pham va 3 phe pham
    lo 2 co 8 chinh pham va 2 phe pham
    tu lo 1 lay 2 san pham
    lo 2 lay 3 san pham
    sau do
    lay ngau nhien 2 san pham

    tinh xac suat trong 2 san pham cuoi do co “it nhat 1 chinh pham”

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s