Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-106

I. Các khái niệm cơ bản:

1. Định nghĩa hàm số 1 biến:

Cho D \subset R Hàm số f từ tập hợp D vào  R là một ánh xạ (quy tắc) tương ứng với mỗi giá trị x \in D với duy nhất 1 giá trị y \in R . Ký hiệu

\begin{array}{ccc} f: D \subset R & \to & R \\ x & \mapsto & y = f(x) \\ \end{array}

– D được gọi là miền xác định của hàm số. Tập hợp tất cả cá giá trị y ( thỏa y = f(x) ) được gọi là tập giá trị của hàm số. Ký hiệu: T = \{y \in R: y = f(x), \forall x \in D \}

2. Đơn ánh:

– Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn tại duy nhất 1 giá trị x \in X sao cho y = f(x) thì f được gọi là đơn ánh (ánh xạ 1-1).

Nghĩa là: f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2 (x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

Cho hàm số y = f(x) , x \in D

1. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tăng nghiêm ngặt (đồng biến) trên D khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

2. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số giảm nghiêm ngặt (nghịch biến) trên D khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên X được gọi là hàm đơn điệu trên X.

4. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không giảm trên X khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)

5. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không tăng (nghịch biến) trên X khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)

4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

– Tập X đối xứng qua 0: D được gọi là tập đối xứng qua 0 nếu: \forall x \in D \Rightarrow -x \in X

Ví dụ: X = (-1;1) \ \{0\} là tập đối xứng qua 0.

Thật vậy: \forall x \in X \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < x < 1 \\ x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < -x < 1 \\ -x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow -x \in X

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn trên D nếu: D đối xứng qua 0 và f(-x) = f(x), \forall x \in D

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ trên D nếu: X đối xứng qua 0 và f(-x) = - f(x), \forall x \in D

– Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung; đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

5. Hàm số tuần hoàn:

Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D nếu tồn tại số T khác 0 sao cho: f(x+T) = f(x) , \forall x \in D (*)

Số dương bé nhất trong số các giá trị T thỏa mãn (*) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.

Ví dụ: y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π. Hàm số y = c = const (hằng số) là 1 hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ

6. Hàm số bị chặn:

– Hàm số y = f(x) bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại a \in R sao cho

f(x) \ge a, \forall x \in D

Hàm số y = f(x) bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại b \in R sao cho

f(x) \le b, \forall x \in D

Hàm số y = f(x) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại M \in R sao cho

|f(x) | \le M, \forall x \in D

7. Hàm số hợp:

Cho ánh xạ \begin{array}{rl} f: X & \to Y \\ x & \mapsto y = f(x) \\ \end{array} \begin{array}{rl} g: Y & \to Z \\ y & \mapsto z =g(y) \\ \end{array}

Khi đó, nếu miền giá trị T_f của f thuộc miền xác định D_g của g thì hàm số g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g và f. Ký hiệu: g_of(x) = g(f(x))

Ví dụ: f(x) = sinx ; g(x) = \sqrt{x}

Khi đó: g_of(x) = g(f(x)) = g(sinx) = \sqrt{sinx}

f_og(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = sin(\sqrt{x})

Nhận xét: f_og \ne g_of

8. Hàm số ngược:

a. Ảnh ngược: Từ hàm số y = f(x) với y là hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử x = g(y) thì ánh xạ g được gọi là ảnh ngược của y cho bởi ánh xạ f. Khi đó, ta ký hiệu: g = f^{-1}

– Để ảnh ngược x = f^{-1}(y) là một hàm số thì ứng với mỗi giá trị y chỉ tương ứng với 1 giá trị x.

– Khi đó, xét hàm số y = f^{-1}(x) thì hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm y = f(x)

Ví dụ: Ta có: y = e^x \Rightarrow x = lny . Khi đó, hàm số y = lnx  là hàm ngược của hàm số y = e^x

– Ta có: y = 2x^3 + 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{y-4}{2}} . Khi đó, hàm số y = \sqrt[3]{\dfrac{x-4}{2}} là hàm ngược của hàm số y = 2x^3 + 4

b. Định nghĩa hàm số ngược: Hàm số g gọi là hàm ngược của hàm số f và kí hiệu là f^{-1} nếu:

f(g(x)) = x với mọi x thuộc miền xác định của g

g(f(x)) = x với mọi x thuộc miền xác định của f

Lưu ý: f^{-1}(x) \ne \dfrac{1}{f(x)}

– Rõ ràng, y = lnx là hàm ngược của y = e^x vì: e^{lnx} = x ; ln(e^x) = xlne = x

c.Tính chất:

– Hàm số g là hàm ngược của f khi và chi khi f là hàm ngược của g.

– Hàm ngược là một đơn ánh.

– Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm số ngược.

– Hàm ngược của hàm số (nếu có) là duy nhất.

Ví dụ: Hàm y = x^2 không là hàm đơn điệu trên toàn bộ miền xác định, vì có ảnh ngược x = \pm \sqrt{y} không duy nhất nên không có hàm số ngược. Tuy nhiên, hàm số y = x^2 , x \ge 0 là 1 đơn ánh và có ảnh ngược là x = \sqrt{y} nên hàm số y = x^2, x \ge 0 có hàm ngược y = \sqrt{x}

d.Đồ thị hàm số ngược: Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất. Nói cách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm ngược y = f^{-1}(x)

Thật vậy, nếu (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) thì f(a) = b. Khi đó: f^{-1}(b) = f^{-1}(f(a)) = a . Vậy a = f^{-1}(b) Hay điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm số y = f^{-1}(x)

10 responses to “Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol

    • Muốn có được kết quả, em phải xem tập giá trị của arcsinx và tập giá trị của acrtanx là như thế nào? Ở đây acrsinx là cung mà sin bằng x, nên arcsinx \in [-1;1] . Tương tự acrtanx \in (-\infty ; \infty) Từ đó, em suy ra được y nhận những giá trị như thế nào rồi.

  1. thầy giứp em giải bài này được ko ah? arcsin(1-x/2) em ko biết làm hàm số ngược của hàm lượng giác như thế nào . Nếu có thể thầy có thể gửi giúp câu trả lời vào mail của em được ko ah? cobethienthan142000@yahoo.com

  2. thay oi thay giai ho em bai toan nay duoc ko vay thay : (arctgx+arctg1/x)=ii/2 khi x>0 va =-ii/2 khi x<o thay lam giup em thay nhe!!!!!!!!!!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s