Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số x_1, x_2, x_3, ... , x_n có dạng:

\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{array} \right. (1.1)

trong đó: a_{ij} , b_i (i =\overline{1,m} ; j =\overline{1,n}) \in R (C) ; a_{ij} – hệ số (của ẩn) ; b_i – hệ số tự do.

2. Nhận xét:

Ta đặt:

A = (a_{ij})_{mxn}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{array} \right] ; X = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \ x_n \\ \end{array} \right] ; B = \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{array} \right]

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: A_{mxn}.X_{nx1} = B_{mx1}

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận: AX = B (1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận \overline{A} = [A|B] được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu b_i = 0, \forall i = \overline{1;m} . Ta có: AX = 0_{mx1}

Hay: \left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+{\ldots}+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+{\ldots}+a_{2n}x_n=0 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+{\ldots}+a_{mn}x_n=0 \\ \end{array} \right. (1.3)

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solutionx_1=x_2={\ldots}=x_n=0 ) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Ví dụ: Hai hệ phương trình \left\{\begin{array}{c} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 1 \\ \end{array} \right. \left\{\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - 2x_2 = 1 \\ 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ \end{array} \right. là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là: x_1 = 1 ; x_2 = 0

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho A \in M_n(K) , B_{nx1} \in M_{nx1}(K) thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu detA \ne 0 )

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có detA \ne 0 nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo A^{-1} . Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho A^{-1} ta có:

A^{-1}.(AX) = A^{-1}.B \Leftrightarrow (A^{-1}.A).X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B (1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

x_j = \dfrac{D_j}{D} ; j =\overline{1;n} (1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do j = \overline{1;n}

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo: A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}P_A (trong đó P_A là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

AX = B \Leftrightarrow A^{-1}.A.X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B = \dfrac{1}{det(A)}.P_A.B = \dfrac{1}{D}.P_A.B (*)

Bây giờ, ta xét: P_A.B . Ta có:

P_A.B = \left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & {\ldots} & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & {\ldots} & A_{n2} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right] (**)

Từ (*) , (**) ta có:

\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{1}{D} \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right]

Hay: x_j = \dfrac{1}{D} \left(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} \right) ; \forall j = \overline{1;n}

Ta đặt: D_j = b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} (***)

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

D = a_{1j}.A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \ldots +a_{nj}.A_{nj} ; \forall j = \overline{1;n} (****)

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

– Nếu D \ne 0  thì hệ có nghiệm duy nhất.

– Nếu D = 0  và tồn tại D_j \ne 0  thì hệ chắc chắn vô nghiệm.

– Nếu D = D_j = 0 ; \forall j =\overline{1;n} thì x_j có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

4. Các ví dụ:

1. Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c} x - 2y + z = 0 \\ -2x + 3y + z = 3 \\ 3x + y - 4z = -7 \\ \end{array} \right.

Ta có:

A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ \end{array} \right] ; B = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -7 \\ \end{array} \right]

Khi đó:

D = \left|\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ \end{array} \right| = -14 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

Cách 1: Dùng thuật toán Cramer

Ta lại có:

D_x = \left|\begin{array}{rrr} 0&-2&1 \\ 3 &3&1 \\ -7 &1&-4 \\ \end{array} \right| = 14; D_y = \left|\begin{array}{rrr} 1 &0&1 \\ -2&3&1 \\ 3&-7&-4 \\ \end{array} \right| = 0; D_z = \left|\begin{array}{rrr} 1&-2&0 \\ -2&3&3 \\ 3&1&-7 \\ \end{array} \right| = -14

Nên: x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{14}{-14} = -1 ; y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{0}{-14} = 0 ; z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{-14}{-14} = 1

Cách 2: Dùng ma trận nghịch đảo:

Ta có: A^{-1} = \left[\begin{array}{rrr} \dfrac{13}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{5}{14} \\ \dfrac{5}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{14} \\ \dfrac{11}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{14} \\ \end{array} \right]

Vậy:

X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{rrr} \dfrac{13}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{5}{14} \\ \dfrac{5}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{14} \\ \dfrac{11}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{14} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ - 7 \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]

2. Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c} x + y + 2z = 0 \\ x + y + 2z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \\ \end{array} \right.

Dễ dàng nhận thấy hệ phương trình trên vô nghiệm. Tuy vậy, trong trường hợp này D = D_x = D_y = D_z = 0 . Thật vậy, ta có:

D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = 0 ; D_x = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = 0

D_y = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| = 0 ; D_z = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = 0

16 responses to “Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

    • Nếu ma trận của hpt là ma trận vuông thì thì hệ có nghiệm duy nhất khi detA khác không, nếu A là ma trận bất kỳ thì hệ có nghiệm duy nhất khi hạng của A bằng đúng số ẩn của hpt.

  1. Em hỏi.
    em hiểu thế này ạ ko biết đúng ko:
    Hệ n phương trình n ẩn số. A.x =b
    là 1 hệ vuông :
    Nếu số hạng tự do = 0 hết là hệ thuần nhất .
    Nếu có dạng tam giác còn gọi là hệ tam giác.
    nếu det(A) # 0 thì là hệ cramer. TRong Th hệ cramer có b= o hết thì cũng gọi là hệ thuần nhất phải ko ạ. Nó đan xen nhau kinh quá>>????????????

  2. giai gip em bai toan nay voi

    giai he phuong trinh:
    2×1+x2-x3+x4=1
    3×1-2×2+2×3-3×4=2
    x1+x2-x3-2×4=-1
    2×1-x2+x3-3×4=4

  3. ai giải thích hộ mình tại sao : hạng A=hạng A bổ sung=số ẩn cua phương trình thì hệ có nghiệm duy nhất

  4. thây ơi em hỏi ạ:Tìm điều kiện tham số m để hpt vô nghiệm?có nghiệm duy nhất?có vô số nghiệm

  5. E có bài toán này giải ra thì dòng đầu là: (1 -1 1 -4 |-2)
    Dòng 2 – 3 – 4 đều bằng nhau: (0 5 -8 16 |9)
    Vậy phải làm sao ạh. Đề là:
    4x+y-4z=1
    3x+2y-5z+4t=3
    -x+6y-9z+20t=11
    2x+3y-6z+8t=5

    • Trước tiên, em biến đổi đã chính xác. Như vậy, hạng ma trận hệ số bằng hạng ma trận hệ số mở rộng và bằng 2. Nên hệ có vô số nghiệm và có 2 ẩn tự do (4 (số ẩn) – 2 (hạng của ma trận hệ số)).
      Do ma trận bậc thang, có 2 phần tử cơ sở (phần tử khác không đầu tiên của dòng 1 và dòng 2) ở 2 cột: cột 1 và cột 2 nên biến x và biến y là 2 ẩn chính và còn lại z, t là 2 ẩn tự do (tham số).

  6. đề bài của em là:
    tìm k để hệ sau có nghiệm
    X1+ 2X2+ X3+ 3X4= 4
    2X1+ 3X2+ 2X3 +X4= 2
    -X1+ 3X2+ 2X3+ kX4= 3
    thầy giúp em vs ạ

  7. Thay oi! vui long cho em hoi.

    – 1 he phuong trinh tuyen tinh duoc goi la thuan nhat khi co he so tu do deu bang 0.

    Ma ta tinh duoc

    +det (A) khac 0 thi co the suy ra co 1 nghiem tam thuong la x1=x2=x3=0
    + det ( A) =0 thi he co vo so nghiem .
    Co dung khong thay, rat mong duoc thay tra loi. Cam on thay nhieu.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s