Đạo hàm hàm số ẩn

1. Định nghĩa: Xét phương trình F(x,y) = 0 (1) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác định. Nếu \forall x \in E thì (1) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta có: F(x,f(x)) = 0 , \forall x \in E

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

Ví dụ: Phương trình x^2 + y^2 = 1 (1) xác định 2 hàm số y = \sqrt{1-x^2} , y = -{\sqrt{1-x^2}} nên (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

2. Định lý:

Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó F: U \subset R^2 \to R là hàm số theo 2 biến x,y có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U. Giả sử \mathop (x_0;y_0) \in U : F(x_0;y_0) = 0 , nếu F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0 thì (1) xác định trong 1 lân cận nào đó của x_0 một hàm số ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số ấy bằng y_0 khi x = x_0 , liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

(Ta không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo cách chứng minh định lý trong quyển Toán học Cao cấp tập 3, của tác giả Nguyễn Đình Trí )

Vậy điều kiện để tồn tại 1 hàm ẩn gồm các điều kiện:

1. F(x,y) là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục.

2. Tồn tại (x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0

3. F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0

Ví dụ: Phương trình y^x = x^y xác định 1 hàm số ẩn vì xét: F(x,y) = y^x - x^y xác định với x, y dương, hàm số này có các đạo hàm riêng liên tục, và F(1,1) = 0 , F_y^{'} = xy^{x-1} - x^{y}lnx \Rightarrow F_y^{'}(1;1) = 1 \ne 0

3. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 1 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y) = 0 (1) xác định 1 hàm ẩn y = f(x) thì ta có: F(x,f(x)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y. Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của (1) theo biến x bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0

{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} \ne 0 nên suy ra: { \dfrac{dy}{dx}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}} (2.1)

Ví dụ: Cho x^2 + siny - 2y = 0 Tìm { \dfrac{dy}{dx}} ?

Xét F(x;y) = x^2 + siny - 2y . Dễ dàng thấy F(x,y) liên tục và F(0;0) = 0 nên phương trình xác định 1 hàm ẩn y theo biến x.

Ta có: { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} = 2x ; { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} = cosy - 2 \ne 0 , \forall y

Do đó: { \dfrac{dy}{dx}} = - { \dfrac{2x}{cosy-2}}

Lưu ý: Việc tìm (x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0 là quan trọng vì nếu không sẽ dẫn tới tình huống phương trình vô nghiệm (ví dụ: x^2 + y^2 = -1 ) nhưng vẫn có dy/dx ( – x/y) (!!!)

- Nhìn chung, đạo hàm dy/dx lại là 1 biểu thức liên quan đến x và y. Trong biểu thức đó, phải xem y là hàm theo biến x

Ví dụ 2: Tìm { \dfrac{dy}{dx}} , { \dfrac{d^2y}{dx^2}} nếu x - y + arctgy = 0

Xét F(x;y) = x - y + arctgy (việc kiểm tra phương trình tồn tại hàm ẩn dành cho bạn đọc)

Khi đó ta có: y_x^{'} = - { \dfrac{1}{-1 + { \dfrac{1}{1+y^2}}}} = { \dfrac{y^2+1}{y^2}} = 1 + { \dfrac{1}{y^2}} (*)

Để tìm đạo hàm cấp 2 { \dfrac{d^2y}{dx^2}} , ta lấy đạo hàm của (*) theo biến x, trong đó y là hàm theo x. Ta có:

{ \dfrac{d^2y}{dx^2}} = - { \dfrac{2y.y_x^{'}}{y^4}} = - { \dfrac{2(1+y^2)}{y^5}}

4. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 2 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y,z) = 0 (2) xác định 1 hàm ẩn 2 biến z = f(x;y) thì tương tự ta có: F(x;y;f(x;y)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của 2 biến số x, y thông qua biến trung gian z. Do đó, ta sẽ lấy các đạo hàm riêng của (1) theo biến x (hoặc y) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = 0

Nếu { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}} \ne 0 thì suy ra: { \dfrac{\partial z}{\partial x}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.2)

Tương tự: { \dfrac{\partial z}{\partial y}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.3)

Nhận xét: ngoài cách tính theo công thức trên, ta có thể xác định các đạo hàm riêng bằng quy tắc tính vi phân. Nghĩa là tính vi phân toàn phần của hàm F(x,y,z) bằng quy tắc vi phân và cho nó bằng 0:

{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}dy + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}dz = 0

Sau đó, tìm dz theo dx và dy: dz = Adx + Bdy. Khi đó A = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} , B = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}

(Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong các ví dụ)

Trang: 1 2

  1. long nguyen
    07/04/2009 lúc 22:17 | #1

    giải giúp em bài này
    cho u=(x+3) / (y+z) trong đó z là hàm ẩn của x,y xác định bởi phương trình z*e^z=x*e^x + y*e^y
    tính u’(x) và u’(y) ?

    • 10/04/2009 lúc 21:12 | #2

      Hàm u = { \dfrac{x+3}{y+z}} , trong đó z là hàm ẩn theo 2 biến x, y. Vì vậy: u là hàm hợp của 2 biến x, y thông qua hàm trung gian z.
      Vậy: u'(x) = { \dfrac{{\partial}u}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}u}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} (*)
      Từ phương trình hàm ẩn, em dễ dàng tìm được { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}}
      Khi đó, thế vào (*) em sẽ tìm được u'(x)
      Tương tự với u’(y)

  2. long nguyen
    07/04/2009 lúc 22:19 | #3

    sao không thấy hướng dẫn cách giải bài tương tự thế này

  3. kien
    24/04/2009 lúc 01:18 | #4

    Nhờ mấy bác giải giúp em bài này với
    Tính Đạo hàm Y’(1) , nếu X SinY – Y SinX = 0 và Y(1) =0

  4. xuan hy
    25/11/2009 lúc 23:36 | #5

    thầy giải giúp em bài này
    cho z^3 – 4xy + y^2 – 4 =0 hãy tính { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} tại (1,-2,2)

    • 21/03/2010 lúc 14:58 | #6

      ðz/ðx=ð(z^3-4xy+y^2-4)=-4y. suy ra ðz(1,-2,2)/ðx=8.ok!

    • 21/03/2010 lúc 15:00 | #7

      Bài này em chỉ cần sử dụng công thức đạo hàm hàm ẩn là có kết quả thôi mà. Này nhé:
      z_x^{'} =- \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}=-\dfrac{-4y}{3z^2}= \dfrac{4y}{3z^2}
      Sau đó, em thế x = 1, y = -2, z = 2 vào em sẽ có \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{-2}{3}

  5. 21/03/2010 lúc 14:26 | #8

    Thầy ơi, giúp em bài này với.
    Cho z=f(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình z-x.e^z/y=0. Tính gần đúng f(0,02;0,99).
    Em cảm ơn Thầy nha!

  6. hoan
    22/05/2010 lúc 23:22 | #10

    thay giup em.cho z=z(x,y) la ham an xac dinh boi phuong trinh:x/y=ln(z/y)+1.tinh d^2z(1,1)=?

    • 23/05/2010 lúc 22:36 | #11

      Trước tiên, em thế x = 1, y = 1 vào pt đề tìm giá trị z(1;1)?
      Tiếp theo, Em dùng công thức đạo hàm hàm ẩn để tính z_x^{'} ; z_y^{'} . Sau đó, từ z_x^{'} , em lấy tiếp đạo hàm theo x với quy tắc phải xem z là hàm (ví dụ:giả sử z_x^{'} = x + z thì z_{xx}^{''} = 1 + z_x^{'} ). Tương tự, em tìm các đạo hàm cấp 2 còn lại cũng với quy tắc trên.
      Sau đó, sử dụng công tức vi phân cấp 2 của hàm số 2 biến, em có:
      d^2z(1;1) = z_{xx}^{''}(1;1)dx^2 + 2z_{xy}^{''}(1;1)dxdy+z_{yy}^{''}(1;1)dy^2
      Khi thế x = 1; y = 1 em phải thế z = z(1;1) vào nhé.

  7. Phong
    18/06/2010 lúc 21:16 | #12

    Thầy ơi giúp em. Cho hàm ẩn x=x(y,z) được xác định bời phương trình z=e^2x(x+y^2+2y).
    Tính dx(y,z)

  8. nguyen xuan trung
    03/08/2010 lúc 11:32 | #14

    Thầy và các bạn giúp em bài này với mày mò mãi mà chưa ra:
    Cho F(x-y;y-z;z-x)=0, tính Z’x, Z’y

  9. kien
    23/09/2010 lúc 10:39 | #15

    tim dao ham y(p/2)cua ham y=y(x) cho boi pt ycos(x)+sin(x)+lny=0

    • 23/09/2010 lúc 21:51 | #16

      Pt này xác định hàm ẩn y= y(x) do pt này có nghiệm. (Em có thể nhẩm được 1 nghiệm x = - \dfrac{\pi}{4} ; y = 1 )
      Do đó em có thể dùng công thức đạo hàm hàm ẩn 1 biến ở trên.
      Đặt F(x,y) = ycos(x) + sin(x) + lny thì: y' = -\dfrac{F_x^{'}}{F_y^{'}} (*)
      Đề bài yêu cầu tính y' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) thì em phải thế x = \dfrac{\pi}{2} vào pt để tìm y.
      Thế x, y vào (*) em sẽ có kết quả

  10. giang99
    27/10/2010 lúc 20:59 | #17

    tim y’(x0)biết x=e^-t ;y=e^t.cost;x0=0

  11. giang99
    27/10/2010 lúc 21:05 | #18

    tinh đạo hàm của hàm ẩn y=y(x)
    x^3 +lny-x^2.e^y=0;
    x^y=y^x
    x^y^2 +y^(2.lnx)-4=0

  12. tien
    03/12/2010 lúc 16:27 | #19

    gia su :y;z la ham an cung 1 bien x thoa man
    2*x-y+3z=0 va x*2-4y*2+5z*2=0
    tinh:(dy)/(dx) va (dz)/(dx)

  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: