Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-I2

Nội dung bài viết này không đi sâu vào các vấn đề lý thuyết của bài toán mà sẽ bàn luận các phương pháp để giải quyết các bài tích phân 2 lớp rơi vào những trường hợp phải chuyển qua tọa độ cực hoặc đổi biến. Vì vậy, các bạn nên xem các giáo trình liên quan để nắm rõ cơ sở lý thuyết của bài toán.

1. Mối liên hệ giữa tích phân 2 lớp trong tọa độ Decarster (Đề- các) vuông góc (Oxy) và tọa độ cực:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = \iint\limits_D f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdrd{\varphi} (1)

Chú ý:

tptdcuc1. Nếu miền lấy tích phân D giới hạn bởi 2 tia xuất phát từ cực: \varphi = \alpha , \varphi = \beta (\alpha \le \beta) tiếp xúc với biên của miền D tại A và B và đoạn đường cong APB có phương trình r = g(\varphi) , đoạn đường cong AQB có phương trình: r = h(\varphi) thì (1) được tính như  sau:

\iint\limits_D f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdrd{\varphi} \, = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \, d{\varphi} \int\limits_{g(\varphi)}^{h(\varphi)} f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdr (2)

2. Nếu gốc O nằm trong miền D và mọi tia xuất phát từ O đều cắt biên của miền HD tại 1 điểm có bán kính vec tơ là r(\varphi) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = \int\limits_{0}^{2\pi} \, d{\varphi} \int\limits_{0}^{r(\varphi)} f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdr (3)

3. Trong tọa độ cực để tích tích phân 2 lớp thường tính tích phân theo r trước.

2. Phương pháp xác định cận:

Bước 1: Nhập môn. Cần nằm lòng 4 điều quan trọng sau:

1. Bài toán nào thì chuyển sang tọa độ cực được?

Mọi bài toán đều có thể chuyển qua tọa độ cực được. Tuy nhiên, ta chỉ nên đổi để biến miền D từ phức tạp thành đơn giản. Bài nào tính dễ dàng trong tọa độ vuông góc thì bạn cứ tính toán bình thường. Ta chỉ đổi sang hệ tọa độ cực khi:

- Hàm dưới dấu tích phân có chứa \sqrt{x^2 + y^2} , đồng thời miền D giới hạn bởi các đường thẳng đi qua O.

- Miền lấy tích phân D là hình tròn, hình tròn lệch, giới hạn của hai hình tròn, hoặc đường cong có chứa x^2 + y^2

2. Với những miền lấy tích phân nào mà bạn có thể vẽ hình được thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dàng xác định cận lấy tích phân hơn.

3. Trước khi chuyển cận, bạn nên chú ý xem miền D và hàm lấy tích phân có tính chất đối xứng không? Điều này sẽ giúp ta thu hẹp miền lấy tích phân:

1. Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 2 \iint\limits_{D_1} f(x;y) \, dxdy (với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 0

2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 2 \iint\limits_{D'} f(x;y) \, dxdy (với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 0

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 4 \iint\limits_{D*} f(x;y) \, dxdy (với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

4. Để xác định chính xác cận tích phân, ta phải xét trong tọa độ cực thông thường, không xét trong tọa độ cực mở rộng. Nghĩa là: r \ge 0 ; 0 \le \varphi \le 2{\pi} (-{\pi} \le \varphi \le \pi ) , tức r dương, góc quay \varphi chỉ xét trong 1 vòng đường tròn lượng giác.

Bước 2: Xuất chiêu. Phương pháp xác định cận:

Cách 1:  xác định cận bằng phương pháp hình học.

- Vẽ miền lấy tích phân D.

- Xác định 2 tia \varphi = \alpha , \varphi = b tiếp xúc với biên miền D.  Nghĩa là, tìm 2 phương trình đường thẳng y = {\alpha}x ; y = {\beta}x tiếp xúc với đường cong  (C) giới hạn miền D lần lượt tại A, B.

- Vẽ bất kỳ 1 tia nằm giữa \alpha , \beta cắt biên D tại 2 điểm P, Q.  Xác định phương trình của  cung APB và AQB bằng cách chuyển đường cong (C) qua tọa độ cực. Tìm biểu thức xác định của r. Biểu thức nào có giá trị r nhỏ hơn, đó chính là phương trình của cung APB: r = g(\varphi) ,  còn lại là phương trình của cung AQB: r =h(\varphi) .

Nếu O thuộc miền D, hoặc trên biên của miền D thì cận dưới r = g(\varphi) = 0

Khi đó: cận tích phân sẽ là D = \left\{ \alpha \le \varphi \le \beta ; g({\varphi}) \le r \le h(\varphi) \right\}

Trang: 1 2 3

  1. Manh
    28/02/2010 lúc 22:30 | #1

    Thầy có thể gjảng cho em về công thức đổj thứ tự tích phân không ạ.Cho em một vàj ví dụ nữa.Em cám ơn!

  2. tronghungbk
    02/03/2010 lúc 21:55 | #3

    thay co the neu vi du chi tiet ve cach doi can duoc khong ag em cam on rat nhieu

  3. tronghungbk
    02/03/2010 lúc 21:56 | #4

    em thay kho khan khi doi bien sau do lai doi ca can nua

  4. long
    10/03/2010 lúc 23:28 | #5

    thua thay,trog tinh tich phan hai lop bang phuong phap doi bien(u,v),ta can cu vao moi quan he nao de co the dat duoc x,y qua u,v ah…….mong thay noi ro cho em voi,cam on thay

    • 11/03/2010 lúc 22:21 | #6

      Thường chỉ đổi biến (x,y) qua (u,v) nếu miền D giới hạn bởi 2 cặp đường cong (mỗi cặp đường cong có cùng tính chất). Chỉ trong trường hợp này bài toán mới trở nên đơn giản, còn những trường hợp tổng quát khác thì miền D đôi lúc sẽ biến thành miền mới D’ rất phức tạp.
      Ví dụ: nếu miền D giới hạn bởi y = x; y = x^2 ; y = 2x ; y = 2x^2 thì D giới hạn bởi 1 cặp đường thẳng dạng y = kx và 1 cặp parabol y = lx^2
      nên em có thể đặt u = y/x ; v = y/x^2

      • NGUYEN CUONG
        30/07/2010 lúc 12:32 | #7

        DẠ CHÀO THẦY,THẦY HƯỚNG DẪN GIÚP EM CÁCH LÀM JACOBI BÀI NÀY.EM KHÔNG BIẾT CÁCH XÁC ĐỊNH MA TRÂN ÁNH XẠ J.EM CẢM ƠN THẦY Ạ

      • 30/07/2010 lúc 14:29 | #8

        Ta có:y= u.x = v.x^2 \Rightarrow x = \dfrac{u}{v} \Rightarrow y = \dfrac{u^2}{v}
        Do đó: J = \dfrac{D(x,y)}{D(u,v)} = \left|\begin{array}{cc} \dfrac{1}{v} & \dfrac{-u}{v^2} \\ \dfrac{2u}{v} & \dfrac{-u^2}{v^2} \\ \end{array} \right| = \dfrac{u^2}{v^3}

    • minhbk
      11/03/2010 lúc 22:47 | #9

      Cho em hỏi câu này, miền D là:
      x <= y <= 4^x
      2 <= xy <= 3

      Chắc là đặt u = xy rồi nhưng em ko biết đặt biến kia thế nào cả, cũng ko thấy có cùng tính chất gì.
      Mong thầy giải đáp hộ em.

  5. long
    17/03/2010 lúc 14:47 | #10

    Thưa thầy, trong tích phân bội ba, có tích phân trong tọa độ cầu, em chưa hiểu rõ lắm về cách xác định các cận, đặc biệt là cận của góc \theta … Mong thầy chỉ em với, em cảm ơn thầy.

    • 23/03/2010 lúc 11:06 | #11

      Em dựa vào phương trình mặt cong mà người ta cho để xem x, y, z và r có điều kiện gì hay không để suy ra điều kiện của \theta . Thường điều kiện của \theta hay phụ thuộc vào điều kiện của z.

  6. quangtrung
    23/03/2010 lúc 00:25 | #12

    thay co the chi cho e cach tinh dien tich hinh phang trong he toa do cuc.vi du nhu cac ham r=1+cos(@) khong? em thay viec ve ham so nay de tim can cua @ la rat kho ah!

    • 23/03/2010 lúc 11:03 | #13

      Em xem các cách xác định cận trong tọa độ cực ở trang 2 nhé. Với hàm của em là r = 1 + cos\varphi thì r \ge 0 , \forall \varphi \in [-\pi; \pi]

  7. thanh trung
    24/03/2010 lúc 14:56 | #14

    Thầy có thể cho em các phương trình tương đương từ tọa độ Decartes sang tọa độ cực được không ạ?

  8. LÊ ĐÌNH GIANG
    05/04/2010 lúc 11:38 | #15

    tính diện tích S của mặt có phương trình y= căn bậc 2 của x^2 + z^2 thỏa mãn điều kiện: x^2 + z^2 <=4x. Mong thầy giải giùm em. Hiện nay em đang bế tắc

    • 13/04/2010 lúc 22:22 | #16

      Bài này em dùng công thức tính diện tích mặt trong trường hợp mặt có phương trình y = y(x,z)
      Khi đó diện tích mặt S được tính bởi công thức:
      \iint\limits_{D} \sqrt{1+(y_x^{'})^2+(y_z^{'})^2} \, dxdz với D là hình chiếu của mặt S xuống mặt phẳng Oxz.
      Như vậy em có:
      S = \iint\limits_{x^2+z^2 \le 4x} \sqrt{1+4x^2+4z^2} \, dxdz
      Chuyển qua tọa độ cực với x = r.cos{\varphi} ; z = r.sin{\varphi} em sẽ tính được tích phân này

  9. Ôn khắc Đỗ
    06/04/2010 lúc 02:20 | #17

    Em rất cảm ơn thày bài thày viết rất hay và tổng hợp toàn là kiến thức cần thiết và cơ bả nhất mà chúng em cần biết mong thày có nhiều bài viết hay hơn nua:-)

  10. faregas2007
    13/04/2010 lúc 23:13 | #18

    vậy thưa thầy nếu bài có miền D là như thế này và nếu em lấy phi trước thì sao ạ
    D {với mọi (x,y)thuộc R^2 : 0<=x<=1, x<=y<=x^2} em bế tắc rồi thầy , mong thầy giúp đỡ

    • 14/04/2010 lúc 12:17 | #19

      Bạn xem lại miền lấy tích phân nhé. Trong miền của bạn thì không thể xảy ra trường hợp 0<=x<=1 , x<=y<=x^2 được. Vì khi 0<=x<=1, thì x phài lớn hơn bằng x^2.

  11. faregas2007
    14/04/2010 lúc 14:39 | #20

    mình ko sử lại được , đúng là x<=y<=x,

  12. Duong_cute
    28/05/2010 lúc 20:24 | #21

    thay giai giup em bai ta nay nha
    tich phan 2 lop cua e^can bac 2(x^2+y^2)/can bac 2(x^2+y^2) voi D={4=>+x^2+y^2=>1}

  13. nguyen dan
    07/08/2010 lúc 15:48 | #22

    Thầy giúp em bài này với. Tính tích phân 2 lớp của (x+y)dxdy trong đó D giới hạn bởi các miền y=-x,y=-x+3,y=2x-1,y=2x+1. Em không hiểu tại sao trong lời giải họ ghi là đặt u=x+y và v=-2x+y? Thầy có thể giảng cách đổi biến x,y qua u,v. Mong Thầy nói rõ hơn so với những câu trả lời ở trên. Em cảm ơn Thầy ạ!

    • 07/08/2010 lúc 21:28 | #23

      Bài này em vẫn có thể làm bình thường nhưng khi đó phải chia miền D thành 3 miền nhỏ nên việc tính toán sẽ mất công hơn. Ở đây, miền D giới hạn bởi 2 cặp đường thẳng: x + y = 0; x + y = 3 và 2x – y = -1 ; 2x – y = 1 nên ta có thể đổi biến. Em xem chi tiết ở trang 2 của bài viết này nhé

  14. do quang tam
    08/08/2010 lúc 00:14 | #24

    thầy giúp em bài này với ạ.Tính S hình phẳng với: y=x^2, 2y=x^2, y^2=x; y^2=4x.Em đổi biến nhưng ko xác định ddc Jacoby.E chân thành cảm ơn

  15. Cashy
    06/12/2010 lúc 10:09 | #26

    Thầy ơi, thầy có thể chỉ giúp em 1 bài này được không ạ ? Tìm tích phân kép của f(x, y) = xy, với miền D là nửa trên của hình tròn ( x – 2)^2 + y^2 <= 1. Em cảm ơn thầy nhiều

    • 06/12/2010 lúc 22:04 | #27

      Miền D là nửa hình tròn tâm (2;0), bán kính 1 nên trước tiên, em nên đổi biến để tịnh tiến miền D về nửa trên hình tròn tâm O. Muốn vậy, em đỗi biến: X = x – 2; Y = y. Suy ra: |J| = 1
      Vậy: I = \iint\limits_{(x-2)^2+y^2 \le 1 ; y \ge 0} xy dxdy = \iint\limits_{X^2+Y^2\le 1 ; Y \ge 0} (X+2).Y dXdY
      Nếu chú ý tính chất đối xứng thì em sẽ có:
      I = 4. \iint\limits_{X^2+Y^2\le 1; X \ge 0 ; Y \ge 0} Y dXDY
      Với tích phân sau cùng, em chuyển sang tọa độ cực sẽ có kết quả.

      • Cashy
        07/12/2010 lúc 09:28 | #28

        Vâng, em cảm ơn thầy nhiều ạ

Comment pages

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: