Ứng dụng số phức, giải phương trình bậc ba

Xét phương trình bậc ba:

x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 \qquad (1)

Ta đặt: y = x + { \frac{a}{3}} \Rightarrow x = y - { \frac{a}{3}}

(1) \Leftrightarrow {(y - { \frac{a}{3}})}^{3} + a.{(y - { \frac{a}{3}})}^{2} + b.{(y - { \frac{a}{3}})} + c = 0

\Leftrightarrow {y}^{3} + y.(b - { \frac{a^{2}}{3}}) + { \frac{2.a^{3}}{27}} - { \frac{ab}{3}} + c = 0

\Leftrightarrow {y}^{3} + py + q = 0 \qquad (2) , với p = b - { \frac{a^{2}}{3}} , q = { \frac{2.a^{3}}{27}} - { \frac{ab}{3}} + c

Như vậy, bằng cách đặt như trên, ta đưa phương trình (1) về phương trình (2) khuyết thành phần bình phương.

Ta xây dựng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình (2).

Đặt y = u + v \qquad (3)

(2) \Leftrightarrow {(u+v)}^{3} + p(u+v) + q = 0

\Leftrightarrow {u}^{3} + 3.{u}^{2}.v + 3.u.{v}^{2} + {v}{3} + p(u+v) + q = 0

\Leftrightarrow {u}^{3} + {v}^{3} + (u+v).(3uv + p) + q = 0

Ta tìm u, v sao cho:

\left \{ \begin{array}{c} {3uv + p = 0} \\{u^{3} + v^{3} = - q} \end{array} \right.   \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{c} {u^{3}.v^{3} = - { \frac{p^{3}}{27}}} \\{u^{3} + v^{3} = - q} \end{array} \right. (4)

 Từ phương trình (4) ta có: u^{3} , v^{3} là nghiệm của phương trình:

t^{2} + qt - { \frac{p^{3}}{27}} = 0

Trường hợp 1:  \Delta \ge 0.Ta có:

u^{3} = - { \frac{q}{2}} + \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}} , v^{3} = - { \frac{q}{2}} - \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}

Trường hợp 2:  \Delta < 0.Ta có:

v^{3} = - { \frac{q}{2}} + i \sqrt{- { \frac{q^{2}}{4}} - { \frac{p^{3}}{27}}} , v^{3} = - { \frac{q}{2}} - i \sqrt{- { \frac{q^{2}}{4}} - { \frac{p^{3}}{27}}} (5)

Ta xét trường hợp 1 (trường hợp 2 xét tương tự) Khi đó có 3 giá trị u và 3 giá trị v thỏa mãn phương trình (5):

\left \{ \begin{array}{l} {u_{1} = \sqrt[3]{ - { \frac{q}{2}} + \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}} = A} \\ \\{u_{2} = A. (- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \\ \\{u_{3} = A. (- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \end{array} \right. , \left \{ \begin{array}{l} {v_{1} = \sqrt[3]{ - { \frac{q}{2}} - \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}} = B} \\ \\{v_{2} = B. (- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \\ \\{v_{3} = B. (- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \end{array} \right. (6)

 Ta chọn u,v thỏa mãn phương trình (4). Lần lượt thế các cặp giá trị (u, v) vào phương trình (4), ta nhận thấy chỉ có 3 cặp giá trị thỏa mãn. Đó là: (u_{1},v_{1}) , (u_{2},v_{3}) , (u_{3},v_{2})

 Thế 3 cặp (u, v) ở trên vào biểu thức (3) ta có 3 giá trị y tương ứng và đó là nghiệm của phương trình (2).

\left \{ \begin{array}{l} {y_{1} = u_{1} + v_{1}} \\{y_{2} = u_{2} + v_{3} = u_{1}. {(- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})} + v_{1}. {(- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})}} \\{y_{3} = u_{3} + v_{2} = u_{1}. {(- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})} + v_{1}. {(- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})}} \end{array}\right.

Hay:

\left \{ \begin{array}{l} {y_{1} = u_{1} + v_{1}} \\{y_{2} = {- { \frac{1}{2}} .{(u_{1} + v_{1})} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}}}}.{(u_{1} - v_{1})} \\{y_{3} = {- { \frac{1}{2}} .{(u_{1} + v_{1})} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}}}}.{(u_{1} - v_{1})} \end{array}\right. (*)

Vậy phương trình (2) được giải nhờ công thức (*) với u_{1} , v_{1} được xác định từ công thức (7).

Do đó, thế x = y - { \frac{a}{3}} ta có được công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1).

6 responses to “Ứng dụng số phức, giải phương trình bậc ba

  1. em có thể tăng cỡ chữ lên để đọc cho dễ bằng cách:

    Đối với trình duyệt FireFox:
    Em chọn View ở menu của trình duyệt web.
    Chọn Zoom >> Zoom In để tăng cỡ chữ lên.

    Đối với Internet Explorer 7.0:
    Em chọn nút Page ở bên góc phải.
    Chọn Zoom >> Zoom In

    Bằng cách này, các chữ trên web sẽ to hơn mà không bị bể hay nhòe. Khi đó em sẽ dễ dàng đọc bất cứ trang web nào.

  2. Cảm ơn bạn đã cung cấp thêm thông tin. Tuy nhiên, cách trên và cách 1 ở trang Wiki thì chỉ là 1. Đây là phương pháp của nhà Toán học người Ý Cardano xây dựng. Cách trên chỉ đưa ra công thức cuối cùng của Cardano nên không thấy được quá trình xây dựng công thức thế nào, và áp dụng số phức ở đâu, nên dễ lầm tưởng rằng không cần đến số phức.
    Còn phương pháp 2 (Việt nam giải): đây chỉ là 1 kết quả được tính toán và suy ra từ kết quả của công thức trên. Tuy nhiên , kết quả này chỉ đưa ra công thức tính nghiệm thực mà thôi. Nếu phương trình bậc 3, chỉ còn 1 nghiệm thực thì phải có 2 nghiệm phức. Vậy tìm 2 nghiệm phức thế nào. Bạn sẽ có câu trả lời đầy đủ khi xem giáo trình Đại số đại cương hoặc Số học của sinh viên chuyên ngành Toán (năm hai, năm ba)
    Thân,

  3. Có cách nào đơn giản hơn không ạ
    To: chuong
    Với firefox chỉ cần giữ Ctrl vào điều chỉnh mouse 3 là có thể tăng giảm cỡ chữ rồi “chuong” ạ

  4. “Còn phương pháp 2 (Việt nam giải): đây chỉ là 1 kết quả được tính toán và suy ra từ kết quả của công thức trên. Tuy nhiên , kết quả này chỉ đưa ra công thức tính nghiệm thực mà thôi. Nếu phương trình bậc 3, chỉ còn 1 nghiệm thực thì phải có 2 nghiệm phức. Vậy tìm 2 nghiệm phức thế nào. Bạn sẽ có câu trả lời đầy đủ khi xem giáo trình Đại số đại cương hoặc Số học của sinh viên chuyên ngành Toán (năm hai, năm ba)”
    Công thức này tôi tìm ra và có lời giải cách đây hơn 10 năm, ngày đó tôi không biết gì về các công thức của Cardano hay của Tartaglia (số phức) cả. Tôi giải bài toán này trong tập số thực thuần túy và cho tất cả các trường hợp. Còn khi đã biết nghiệm số thực thì tìm 2 nghiệm số phức còn lại rất dể dàng bằng cách chia đa thức hoặc dùng công thức Hooc-ne để tìm phương trình bậc 2 còn lại thật dể dàng. Những gì các bạn chưa được thấy thì hy vọng các bạn đừng nói theo kiểu tất cả không phải của tác giả.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s