Chuỗi số dương (Infinitive Series)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-31

1. Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test):

Xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} ,{u_n} {\ge} 0             (1)

Khi đó nếu tổng riêng phần S_{n} là dãy không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.

1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương :

1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:

Cho hai chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) thỏa điều kiện: {\exists} {n_{0}} : 0 {\le} {u_{n}} {\le} {v_{n}} , { \forall} n {\ge} n_{o} (*). Khi đó:

Nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty}{v_n} hội tụ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} hội tụ.

Ngược lại, nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} phân kỳ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} phân kỳ.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử n_0 = 1.

Gọi Sn và Tn là tổng riêng phần tương ứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)

Do (*) ta có: Sn ≤ Tn

Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T

Vì các số hạng của chuỗi luôn dương nên Tn < T

Suy ra: Sn < T

Vậy Sn bị chặn trên nên nó có giới hạn

1.1.2 Dấu hiệu so sánh 2 :

Cho hai chuỗi số dương \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) , ({u_{n}} {\ge} 0,  {v_{n}} {\ge} 0 )

Giả sử \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}

1. Nếu k = 0 thì chuỗi (2) hội tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ.

2. 0 \langle k \langle \infty thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3. k = + \infty thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh

Chứng minh kết quả 1:

Do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 0} nên:

\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \le \epsilon \Rightarrow u_n \le {{\epsilon}.{v_{n}}}.

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Chứng minh kết quả 2:

Giả sử k \langle + \infty . Khi đó, do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}  nên:

\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \langle k + \epsilon \Rightarrow u_n \langle (k+ \epsilon )v_n

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Mặt khác do k \rangle 0 \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 1/k} \langle + \infty .

Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ.

Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết quả 3 được suy ra từ kết quả 1 và 2.

1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:

Xét hàm số f: [1;+\infty) \to R , f(x) \ge 0 và f giảm. Với mọi n \in N , đặt {a_{n} = f(n)}

Khi đó: tích phân suy rộng \int\limits_{1}^{\infty} {f(x)} hội tụ khi và chỉ khi chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {a_n} hội tụ.

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy:

11.4 Ratio Test, Root Test

Image by mseery via Flickr

1.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức) – Cauchy’s root test ( Cauchy’s radical test):

Cho \sum a_n là chuỗi số dương. Giả sử rằng:

\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = C

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu C < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ.

2. Nếu C > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ.

3. Nếu C = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert  – ratio test:

Cho \sum a_n là chuỗi số dương sao cho a_n \ne 0 . Giả sử rằng:

\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = D

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu D < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ.

2. Nếu D > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ.

3. Nếu D = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

68 responses to “Chuỗi số dương (Infinitive Series)

  1. chào thầy , thầy có thể cm giúp em dấu hiệu hội tụ Jame được ko ạ , em tìm mãi nhưng ko thấy , cảm ơn thầy

    • Hiện tại, dấu hiệu hội tụ Jamê rất ít giáo trình trình bày. Nội dung của dấu hiệu này như sau:
      “chuỗi dương \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n hội tụ nếu \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right) \dfrac{n}{lnn} \ge p > 1 khi n > n_0 và phân kỳ nếu \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right) \dfrac{n}{lnn} \le 1 khi n > n_0
      Từ điều kiện hội tụ ta thấy:
      0 \le a_n \le \left(1-\dfrac{plnn}{n}\right)^n
      Khi đó, dùng khai triển Maclaurin cho \left(1-\dfrac{plnn}{n}\right)^n em sẽ chứng minh được chuỗi hội tụ khi p >1.
      Tương tự, cho trường hợp phân kỳ

  2. dùng quy tắc tích phân kết luận chuỗi dương hội tụ, vậy khi cho tổng chuỗi là S=U1+U2+….+Un thì sai số phạm phải là bao nhiêu?
    Xin cảm ơn thầy!

    • Ở đây, em lưu ý, nếu dùng quy tắc tích phân mà giá trị tích phân là hữu hạn thì ta kết luận chuỗi tương ứng là hội tụ chứ không thể KL giá trị của tích phân là tổng của chuỗi. Như vậy, có những bài ta biết chuỗi hội tụ nhưng không thể biết chính xác tổng đó bằng bao nhiêu.
      Do đó, số dư của 1 chuỗi không liên quan đến quy tắc tích phân. Như vậy, theo định nghĩa chuỗi số thì, số dư (sai số) sẽ là:
      \sum\limits_{k =1}^{+\infty} u_k - \sum\limits_{k=1}^n u_k = \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} u_k

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s