Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-2E

1. Các khái niệm

1.1 Định nghĩa 1:

Cho dãy số thực vô hạn u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n}, ...

Các số u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n}, ... được gọi là số hạng của chuỗi, u_{n} được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi.

Một dãy là được cho nếu biết quy luật tính số hạng tổng quát thứ n của nó.

1.2 Định nghĩa 2:

Tổng n hữu hạn số hạng đầu của chuỗi gọi là tổng riêng phần thứ n của chuỗi (sequence of partial sum): S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n} = {\sum\limits_{i=1}^{n}u_i} .

Nếu \lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = S hữu hạn thì ta nói chuỗi hội tụ (convergent).

Nếu \lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = {\pm}{\infty} hoặc không tồn tại ta nói chuỗi phân kỳ (divergent)

Thí dụ 1.2.1:

Xét chuỗi cấp số nhân: \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n (geometric series)

Ta có: S_{n} = 1 + q + ... + q^n

Nếu q =1 ta có: S_{n} = n \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} S_n = + \infty

Vậy chuỗi phân kỳ.

Nếu q ≠ 1 ta có:

S_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} q^k = { \dfrac{q^{n}}{q-1}} - { \dfrac{1}{q-1}}

Ta tìm: \lim\limits_{n \to \infty}S_n

Nếu |q| < 1 thì S_{n} \underset{n \to \infty}{\rightarrow} \dfrac{1}{1- q}, do đó chuỗi hội tụ và có tổng bằng \dfrac{1}{1- q}

Nếu q> 1 thì S_{n} không có giới hạn hữu hạn, do đó chuỗi phân kỳ.

Nếu q = -1 thì S_{n} = 1-1+1-1+... do đó S_{n} = \left \{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right.

Vậy S_{n} không có giới hạn và chuỗi đã cho phân kỳ.

Như vậy, cấp số nhân với số hạng đầu khác không hội tụ khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.

Serie geomètrica de cercles

Image via Wikipedia

Thí dụ 1.2.2:

Cho q = 1/3 ta được:

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{3}{2} (do q = \dfrac{1}{3} \langle 1 )

Cho q = -1/4 ta được:

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{-1}{4}\right)^n = \dfrac{4}{5} (do |q| = \dfrac{1}{4} \langle 1 )

Thí dụ 1.2.3:

Tìm tổng của chuỗi: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}

Lập tổng S_{n} ta có:

Phân tích số hạng thứ n ta có:

\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}

Do đó: S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} = \left(1-\dfrac{1}{2}\right) +\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + ... + \left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right) + \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)

Hay: S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}

Dễ dàng thấy tổng Sn hội tụ về 1 nên chuỗi đã cho hội tụ và có tổng S = 1

Thí dụ 1.2.4:

Tìm tổng của chuỗi: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}

Dự đoán: Sử dụng Maple vẽ tổng của S_{n} với n = 10.000 ta có:

>>plot(Sn, 1 .. 10000);

chuoi-so-1.jpg

Dựa vào đồ thị của Sn ta thấy đường cong luôn tiệm cận với 0.25. Suy ra, ta có thể dự đoán chuỗi số này hội tụ đến 1/4.

Dựa vào dự đoán trên ta sẽ chứng minh chuỗi trên hội tụ và có tổng bằng \dfrac{1}{4}

Phân tích số hạng thứ n thành thừa số. Ta có:

u_n = \dfrac{1}{2n} - { \dfrac{1}{n+1}} + { \dfrac{1}{2(n+2)}}

Khi đó, tổng Sn sẽ là: - { \dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}} + { \dfrac{1}{4}} .

Rõ ràng, qua giới hạn, Sn hội tụ về 1/4. Vậy chuỗi đã cho hội tụ tổng của chuỗi bằng 1/4

Nhận xét:

Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng phần thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát thành các thừa số có tính chất truy hồi.

64 responses to “Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)

    • Cái này đơn giản mà bạn. Sử dụng hệ số bất định ta muốn tìm các hệ số A,B,C sao cho:
      u_n=\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+1}+\dfrac{A}{n+2}
      \iff 1=n^2(A+B+C)+n(3A+2B+C)+2A
      Chọn A=\dfrac{1}{2} rồi giải hệ
      A+B+C=0
      3A+2B+C=0

  1. thầy ơi cho em hỏi vì sao lim {an}=0 thì lim {an+1}=0 (n->vô cùng,{an} là dãy an ko phải là a.n) em cảm ơn trước

    • Cái này thì em phải hiểu rõ khái niệm giới hạn của một dãy số. Cho dãy {an}, nghĩa là a_n là số hạng tổng quát thứ n.
      Khi đó \lim\limits_{n \to + \infty} a_n = 0 thì nghĩa là:
      \forall \epsilon \rangle 0 , \exists N \in N: \forall n \ge N \Rightarrow \|a_n\| \langle \epsilon
      Do đó, từ n \ge N trở đi thì a_n \to 0 Do vậy, số hạng thứ n +1, n+2, … cũng sẽ tiến đến 0.

  2. Thầy ơi,Em vẫn còn thắc mắc về giới hạn dãy và giới hạn hàm..có nhưng bài tính lim an…mà chuyển về lim f(x) tính ra kết quả rồi lấy đó làm lim an…vậy khi nào chuyển được khi nào chuyển ko được thầy..sách GT 1 của Nguyễn Xuân Liêm viết ko rõ chỗ này..em cảm ơn thầy

  3. thầy ơi, em muốn hỏi là: Tại sao khi nghiên cứu về chuỗi số người ta chỉ nghiên cứu tính hội tụ hay phân kì của nó mà không quan tâm đến tổng của chuỗi bằng bao nhiêu vậy a.

    • Không phải là không quan tâm đến chuỗi, mà vì không phải chuỗi nào cũng có thể lập được tổng riêng phần Sn để tìm tổng của chuỗi. Do đó, trước tiên, khi làm việc với chuỗi, người ta quan tâm xem chuỗi đó có hội tụ không? Nếu phân kỳ thì khỏi phải tìm tổng cho mất công, còn nếu chuỗi hội tụ thì người ta sẽ tìm cách khác để tính tổng của chuỗi (thông qua chuỗi hàm, chuỗi Fourier,…. )

  4. Thưa thầy, thầy có thể gợi ý cho em bài sau được không ạ?
    Xét sự hội tụ của chuỗi số:
    sum sin(pi*(2+sqrt3)^n), n = 1..infinity.
    em xin cảm ơn thầy!

  5. thầy ơi cho con hỏi cách tìm công thức của số hạng thứ n? tìm như thế nào vậy thầy. nếu cho chuỗi 2/1+3/4+4/9+5/16+… mình tìm sao thầy. Con bị mất căn bản phần này rồi thầy chỉ con với.cám ơn thầy

    • Để tìm công thức của số hạng thứ n, em cần chú ý tìm quy luật thay đổi của các số hạng: giữa số thứ 2 với số thứ 1, số thứ 3 với số thứ 2,…
      Ta có: a1 = 2/1 ; a2 = 3/4 ; a3 = 4/9 ; a4 = 5/16
      Các số này có tử tăng dần (2,3,4,5) . Mẫu số là 1, 4, 9, 16 là những số chính phương. 1 = 1^2, 4 = 2^2, 9 = 3^2, 16 = 4^2
      Vậy a1 = 2/(1^2) ; a2 = 3/(2^2) ; a3 = 4/(3^2) ; a4 = 5/(4^2).
      Vậy nếu tiếp tục thì a5 = 6/(5^2); a6 = 7/(6^2); … an = (n+1)/(n^2).

  6. thây ơi giúp e giải bài này với tính tổng của chuỗi : căn bậc 2 của (n+2)trừ cho caxn bậc 2 của 2(n+1) + căn bâc 2 của n

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s