Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)

I. Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 2: Công của 1 lực biến đổi.

Trong Vật lý phổ thông, ta đã biết công A của 1 lực \overrightarrow{F} tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường thẳng từ B đến C được tính bởi công thức:

A = |\overrightarrow{F}|.|\overrightarrow{BC}|.cos\alpha , với \alpha = \widehat{(\overrightarrow{F},\overrightarrow{BC})}(1.1)

Hay ta có: A = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{BC} (tích vô hướng giữa vectơ F và vectơ BC).

Bây giờ, bài toán đặt ra là cần tính công A của một lực \overrightarrow{F} tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường cong \widetilde{BC} từ B đến C.

Lực \overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}(M) = \overrightarrow{F}(x,y) biến thiên liên tục dọc theo cung BC và có thành phần theo phương ngang (hình chiếu xuống trục Ox) là P(x,y) và thành phần theo phương đứng (hình chiếu xuống trục Oy) là Q(x,y) (chúng là những hàm số liên tục trên cung BC). Ta có:

\overrightarrow{F}(M) = \overrightarrow{F}(x,y) = P(x,y){\vec{i}} + Q(x,y){\vec{j}} (1.2)

trong đó \vec{i}, \vec{j} là các vectơ đơn vị trên hai trục Ox và Oy.

Chia cung BC 1 cách tùy ý thành n cung nhỏ bởi các điểm chia B=B_0, B_1, B_2, ... , B_n = C có các độ dài tương ứng là {\Delta}s_1, {\Delta}s_2, ... , {\Delta}s_n .

Xét cung nhỏ thứ i: \widetilde{B_{i-1}B_{i}} .

Trên cung đó, vì độ dài {\Delta}s_i khá bé nên có thể xem như cung \widetilde{B_{i-1}B_i} trùng với đoạn thẳng \overline{B_{i-1}B_i} và chất điểm M coi như chuyển động thẳng trên cung này. Ngoài ra, có thể xem như lực \overrightarrow{F} không đổi và bằng \overrightarrow{F}(M_i) với M_i(h_i;t_i) là 1 điểm tùy ý trên cung thứ i. Do đó, công của lực F tạo nên khi chất điểm M chuyển động dọc theo cung B_{i-1}B_{i} gần đúng bằng:

|{\overrightarrow{F}}(M_i)||{\overrightarrow{B_{i-1}B_i}}|cos{\alpha}_i=\overrightarrow{F}(M_i){\overrightarrow{B_{i-1}B_{i}}}=P(h_i;t_i){\Delta}x_i+Q(h_i;t_i){\Delta}y_i (1.3)

trong đó {\alpha}_i = \widehat{(\vec{F}(M_i);\vec{B_{i-1}B_i})} {\Delta}x_i = x_i - x_{i-1} , {\Delta}y_i = y_{i}-y_{i-1} , \forall i = \overline{1, n} là các hình chiếu của \widetilde{B_{i-1}B_{i}} xuống hai trục Ox và Oy. Do đó, công A của lực F tạo nên khi chất điểm chuyển động dọc theo cung phẳng từ B đến C được tính gần đúng bằng:

A_n = \sum\limits_{i=1}^n [P(h_i;t_i){\Delta}x_i + Q(h_i;t_i){\Delta}y_i] (1.4)

Khi tăng số phần chia n lên sao cho các cung \widetilde{B_{i-1}B_i} càng nhỏ lại thì sự sai biệt giữa An và A càng bé. Do đó, hiển nhiên công A do lực \overrightarrow{F} tạo ra được xem là giới hạn của An khi n \to \infty sao cho max{\Delta}s_i \to 0 . Vậy:

A={\underset{\underset{(n \to \infty)}{max{\Delta}s_i \to 0}}{\lim}}A_n

Hay: A={\underset{\underset{(n \to \infty)}{max{\Delta}s_i \to 0}}{\lim}}\sum\limits_{i=1}^n [P(h_i;t_i){\Delta}x_i + Q(h_i;t_i){\Delta}y_i] (1.5)

II. Tích phân đường loại 2:

1. Định nghĩa tích phân đường loại 2:

Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung \widetilde{BC} thuộc mặt phẳng (Oxy).

Từ biểu thức (1.5) nếu tổng An tiến đến 1 giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung BC và cách chọn điểm M_i trên mỗi cung nhỏ \widetilde{\frown}{B_{i-1}B_i} thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 2 (tích phân theo tọa độ) của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung BC và được ký hiệu là:

\int\limits_{\widetilde{BC}} P(x,y)dx + Q(x,y)dy

2. Khái niệm cung trơn:

Giả sử cung \widetilde{AB} có phương trình \left\{\begin{array}{c} x = x(t) \\ y = y(t) \\ \end{array} \right. a \le t \le b

Cung \overset{\frown}{AB} được gọi là cung trơn nếu tồn tại các đạo hàm x'(t), y'(t) liên tục và không đồng thời bằng 0.

Cung AB được gọi là trơn từng khúc nếu ta có thể chia thành hữu hạn các cung trơn.

3. Định lý tồn tại:

Nếu các hàm số P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa cung \widetilde{AB} trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung AB.

(ta công nhận kết quả này)

4. Tính chất:

1. Từ định nghĩa dễ thấy rằng: nếu ta đổi chiều trên cung từ C đến B thì các hình chiếu của vectơ \overrightarrow{B_{i-1}B_i} lên hai trục Ox, Oy đổi dấu, do đó: \int\limits_{BC} Pdx + Qdy = - \int\limits_{CB} Pdx + Qdy

2. Nếu P, Q khả tích trên cung AB và \widetilde{AB} được chia thành 2 cung \widetilde{AC} , \widetilde{CB} thì P, Q cũng khả tích trên 2 cung đó và khi ấy ta có: \int\limits_{AB} Pdx+Qdy = \int\limits_{AC} Pdx+Qdy = \int\limits_{CB} Pdx+Qdy

3. Tích phân đường có các tính chất như tích phân xác định.

Chú ý:

Hướng dương trên miền đa liên

Hướng dương trên miền đa liên

– Trong trường hợp cung \widetilde{AB} là đường cong kín L (điểm đầu trùng điểm cuối), ta có 2 hướng đi dọc theo cung đường cong kín trên. Khi đó, L là biên giới hạn của miền kín D, ta quy ước chọn chiều dương trên L là chiều sao cho 1 người đi  dọc trên biên sẽ thấy miền giới hạn D nằm về phía tay trái. Hướng ngược lại là hướng âm.

Trong trường hợp miền D là miền đơn liên, thì chiều dương chính là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Khi đó, ta thường ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là: \oint\limits_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy

– Trong vật lý, thường ta hay gọi tích phân đường loại 2 là tích phân công và ký hiệu \int\limits_{\widetilde{AB}} \overrightarrow{F}.d{\overrightarrow{r}} , trong đó \overrightarrow{F} = (P(x,y);Q(x,y)) d{\overrightarrow{r}} = dx{\vec{i}} + dy{\vec{j}}

5. Cách tính (tính trực tiếp):

Để tính tích phân đường \int\limits_{AB} P(x,y)dx + Q(x,y) dy ta đưa về tích phân xác định (tích phân 1 biến).

Giả sử \widetilde{AB} là cung trơn, các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục trên \widetilde{AB} . Ta có các trường hợp sau:

Th1: cung AB có phương trình tổng quát: y = y(x) . Điểm A ứng với x = x_A , điểm B ứng với x = x_B .

Khi đó, ta có công thức sau:

\int\limits_{AB} P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int\limits_{x_A}^{x_B} [P(x,y(x)) + Q(x,y(x)).y'(x)] dx

Th2: cung AB có phương trình tổng quát: x = x(y) . Điểm A ứng với y = y_A , điểm B ứng với y = y_B .

Khi đó, ta có công thức sau:

\int\limits_{AB} P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int\limits_{y_A}^{y_B} [P(x(y),y).x'(y) + Q(x(y),y)] dy

Th3: cung AB có phương trình tham số: x = x(t); y = y(t) . Điểm A ứng với t = t_A , điểm B ứng với t = t_B .

Khi đó, ta có công thức sau:

\int\limits_{AB} Pdx+Qdy = \int\limits_{t_A}^{t_B} [P(x(t),y(t)).x'(t) + Q(x(t),y(t)).y'(t)] dt

Nhận xét: Từ 3 trường hợp trên, nếu cung AB không có cùng 1 phương trình đường cong khi đi từ A đến B thì ta phải chia nhỏ cung AB thành các cung sao cho trên mỗi cung có cùng 1 pt đường cong.

12 responses to “Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)

  1. Nhờ Thầy hướng dẫn giúp em bài này:
    I=\int\limits_{L} \left[y(x-1)^{2} + 2y+e^{x} \right]dx - \left[x(y-1)^{2} + 2x+e^{y} \right]dy với L: x = 1 + \sqrt{1-(y-1)^2} đi từ A (1;0) đến B(1;2) theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.

    • Bài này cung AB là nửa phía bên phải của đường tròn tâm I(1;1), bán kính 1. Bài này không thể tính trực tiếp vì khi thế đường cong dạng tổng quát hay dạng tham số thì hàm lấy tích phân khá phức tạp. Bài này em bổ sung thêm đoạn thẳng BA: x = 1 đi từ B(1;2) đến A(1;0) để được đường cong kín lấy theo hướng dương. Sau đó, áp dụng công thức Green thì bài toán trở nên đơn giản hơn.

    • Đây là tích phân đường theo độ dài cung (tích phân đường loại 1), nhưng em có lộn không? Với dữ kiện em cho thì ABCD đâu thể là hình chữ nhật được !!!

  2. thưa thầy em đang học tích phân mặt loại 2 và em muốn hỏi thầy khi áp dụng định lý O-G thì khi vecto hướng vào bên trong của mặt kín khác gì khi vecto huong ra ngoài. em xin cảm on

    • Khi vec-tơ pháp tuyến hướng vào bên trong mặt kín thì tích phân sẽ ngược dấu với trường hợp vec-tơ pháp tuyến hướng ra ngoài.
      \iint\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint\limits_S (P.cos{\alpha}+Q.cos{\beta}+R.cos{\gamma} dS = \iint\limits_S {\vec{F}}.{\vec{n}} dS
      với \vec{F} = (P; Q; R) ; \vec{n} = (cos{\alpha}; cos{\beta}; cos{\gamma})

  3. Thầy ơi! E ở lớp Ôn tập thi tuyển sinh sau đại học, em có các bài toán sau em không biết cách làm Thầy có thể hướng dẩn giúp em không ạ?

    tích phân đường \int\limits_{BOA} (x.{e^{ - x}} - y)dx + (x + \sqrt {4 - {x^2}} )dy trên cung BOA với BO là đoạn thẳng nối B(2.2) với O(0,0) còn OA là nửa đường tròn dưới x2+y2=2x (y<=0), A(2,0)

    • Bài này nếu em bổ sung thêm đoạn thẳng AB thì sẽ được đường cong kín nhưng không thể sử dụng công thức Green được vì miền D chứa điểm A (2;0) làm cho hàm \dfrac{{\partial}Q}{{\partial}x} không xác định và liên tục. Do đó, ta phải làm trực tiếp.
      Đoạn BO: y =x; x_B = 2; x_O = 0 ; dy = dx : tính toán dễ dàng.
      Cung OA: em có thể đặt x = 1 + cos{\varphi}; y = sin{\varphi} . Tại O: \varphi = \pi tại A: \varphi = 2{\pi}

  4. nhờ thầy giúp e bài này với
    cho C là elip x2/4+y2/9. ticnhs tích phân đường: I= tích phân y(sinx+1)dx+(x-cosx)du

  5. \oint\limits_L (x-y)(ydx-xdy) với L là chu vi tam giác ABC với A(0,0), B(-2,0), C(0,-1)
    a) Tính trực tiếp I.
    b) Thử lại kết quả bằng công thức Green.

    Cảm ơn mọi người!

    Chẳng hiểu em làm kiểu gì mà toàn ra 2 kết quả khác nhau đáng lẽ phải ra cùng 1 KQ chứ
    Thầy ơi giúp em

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s