Khái niệm về ma trận

I. Các định nghĩa về ma trận:

1. Định nghĩa 1.1:

Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K – là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:

A = \left ( {\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array}} \right )

Trong đó a_{ij} \in K là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là A = (a_{ij})_{mxn} hay (A)_{mxn}

Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K được ký hiệu bởi Mm x n(K)

Ví dụ 1.1: A = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array}} \right ) là ma trận cấp 2 x 3. B = \left( {\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array}} \right ) là ma trận cấp 3 x 2.

Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: a_{ij} = i^2 - j^2 , \forall i,j = 1, ... , 4

Nhận xét:

– Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát.

– Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.

– Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K)

– Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột

– Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được gọi là đường chéo chính của A.

2. Định nghĩa 1.2: Cho A = (a_{ij}) \in M_n(K) . Khi đó:

– Nếu a_{ij} = 0 , \forall i \ne j (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo.

– Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2,…, an) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, a2, …, an

– Ma trận chéo có a_{ii} = 1 , \forall i (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1) được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: In

– Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng.

– Nếu a_{ij} = 0 , \forall i > j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên.

– Nếu a_{ij} = 0 , \forall i < j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới.

– Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác.

II. Các phép toán trên ma trận:

1. Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau):

Cho A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) .

Ta nói A = B khi và chỉ khi: a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Với A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} d & e & f \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right ) Thì A = B \leftrightarrow a = 4 , b = 5 , c = 6 , d = 1, e = 2, f = 3

Hai ma trận A = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right ) không thể bằng nhau do không cùng cấp.

2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị):

Cho A = (a_{ij}) \in M_{mxn}(K) . Ta nói:

B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu:

a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Nếu A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{array}} \right ) thì {A^T} = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{array}} \right )

3. Tính chất 2.1:

Cho A, B \in M_{mxn}(K) . Khi đó:

1. (A^T)^T = A

2. A^T = B^T \Leftrightarrow A = B

Ghi chú:

Cho A \in M_n(K) . Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu AT = – A thì ta nói Ama trận phản xứng.

Ví dụ: A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \\ \end{array}} \right ) là ma trận đối xứng. B = \left ( {\begin{array}{ccc} 0 & 1 & {-2} \\ {-1} & 0 & 3 \\ 2 & {-3} & 0  \\ \end{array}} \right ) là ma trận phản xứng.

Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0.

4. Phép nhân một số với một ma trận:

Cho A \in M_{mxn}(K) , a \in K Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K) được xác định bởi: c_{ij} = a.a_{ij}

– Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.
5. Cộng hai ma trận:

Cho A, B \in M_{mxn}(K)

Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K) được xác định bởi: c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B.
6. Tính chất 2.2:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)

7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho:

8. Định lý 2.1:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K . Khi đó:

1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A

2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C

3.Tồn tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A

4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0

5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA

6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT + BT

25 responses to “Khái niệm về ma trận

    • Với định nghĩa của ma trận, em sẽ có ma trận có dạng:
      A= \left[\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & ... & n-1 & n \\ 2 & 2 & 3 & ... & n-1 & n \\ 3 & 3 & 3 & ... & n-1 & n \\ ... & ... & ... & ... & .... & .... \\ n-1 & n-1 & n-1 & ... & n-1 & n \\ n & n & n & ... & n & n \\ \end{array} \right]
      Lần lượt thực hiện phép biến đổi sơ cấp d_{i+1} \to d_{i+1} - d_i , i = n-1,...,1 Sau đó, khai triển định thức theo cột thứ n em sẽ có định thức cấp n-1 của mà ma trận của định thức cấp n-1 này có dạng tam giác dưới. Và em sẽ có ngay kết quả là: det(A) = (-1)^{n+1}.n

      • Thầy ơi.Em vẫn chưa hiểu lời giải bài này lắm.Sao ta lại có dạng ma trận kiểu đó à.mà max(i,j) là sao ạ?

    • giả sử A có A-1. khi đó dễ dàng tính được A-1=0. nên A không có A-1 và vì vậy det (A)=0

      • Em xem lại bai này không thể có det(A) = 0. Chỉ cần xét trường hợp n = 2, 3 là đủ kết luận nhận xét det(A) = 0 là không chính xác.

  1. Cho:
    2w+x+3y-z =6
    w-x+2y-2z =-1
    w-x-y+z =-4
    -w+2x-2y-z =-7

    Làm sao giải bài này vậy Thầy? Thầy em cho mà không chỉ cách giải.
    Cám ơn Thầy

    • bài 1 chỉ đơn gián viết dưới dạng A*X=Y
      trong đó A là ma trận 4×4 được tạo bởi các hệ số của pt
      X là ma trận cột cần tìm
      Y là hệ số free bên fai
      và X=A-1*Y

    • Em đưa về ma trận, rồi đưa ma trận đó về dạng tam giác dưới. Khi đó ta được ma trận, rồi viết lại ma trận tương ứng với từng nghiệm của phương trình. Đến đây ta có thể dùng phép thế giải pt. Nghiệm của pt là nghiệm của hệ trên. Chúc em thành công.

  2. Thầy ơi, chỉ em cách biến đổi ma trận vuông thành ma trận tam giác đi. Em học gà quá, thầy em dạy mà em chẳng hiểu j hết

  3. thầy ơi cho em hỏi nếu có một bài giải phương trình: AX=B. Tìm X.
    Nếu như ma trận B và A nghịch đảo đều là ma trận vuông và bằng cấp nhau thì X=?
    vì phép nhân ma trận không có tính giao hoán ạ

  4. Cho một ma trận tam giác dưới X được lưu trử như sau:
    X1.1 0 0 0 0 0
    X2.1 X2.2 0 0 0 0
    X3.1 X3.2 X3.3 0 0 0
    ……………………………………
    ……………………………………….
    Xn.1 Xn.2 Xn.3 ……………… ………….. Xn.n

    Để tiết kiệm không gian nhớ người ta lưu ma trận X dưới dạng vecto A
    A1 A2 A3 ….. …………. Am
    Tìm công thức, để từ vị trí K trên vecto A, ta biết được i,j trên ma trận X. Sử dụng 1 ngôn ngử lập trình nào đó để cài đặt các yêu cầu lên máy tính
    VD
    k i j
    1 1 1
    3 2 2
    6 3 3
    9 4 3
    Đây là bài toán Ma trân mà viết bằng C thầy có thể cho em ý tưởng được không

  5. Thay oi huong dan em may cau nay voi a. Em cam on thay nhieu!!
    Chứng Minh :
    a. Det(A+B) ≠ Det(A)+Det(B) với A,B là các ma trận vuông
    b. AB=0 thì không thể suy ra A=0 hoặc B=0
    c. A^n=0 thì A=0
    d. r(AB)=r(A) với A,B là các ma trận vuông và B không suy biến
    e. L1,L2 la 2 khong gian con va L1 la con L2 thì dimL1 <= dimL2
    f. L1,L2 la 2 khong gian con va L1 la con L2 va dimL1=dimL2 thì L1=L2
    g. Nếu hệ véc tơ có 1 hệ con độc lập tuyến tính thì hệ đó không thể độc lập tuyến tính

  6. Cho em hỏi, nếu phương trình ma trận: A.X=B
    Nếu det(A)=0 thì giải quyết ra sao vậy. Em chưa tìm được cách giải quyết???????
    thanks !!

  7. xin thầy hướng dẫn cho em bài này:
    chứng minh rằng với mọi ma trận A thì :rang(A^t.A)= rangA

  8. Thầy ơi cho em hỏi
    1/ CMR nếu ma trận A là d/xứng khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A là ma trận đối xứng
    2/ Cho A, B , C , D vuông cấp n cho A-B và A+B ko suy biến
    CMR tồn tại X và Y sao cho
    AX+BY=C vÀ BX+AY=D
    tìm X, Y

  9. Thầy ơi, em ôn phần đại số tuyến tính và có một thắc mắc là có phải khi tìm kerf thì luôn lập ma trận của f đối với cơ sở chính tắc ko ah, còn tìm Imf thì cũng làm phải làm như vậy ko thưa thầy. Còn bài 17 trong tờ giấy ôn thi cao học phần đại số tuyến tính em ko nghĩ ra cách để làm, thầy gợi ý cho em với. Em cám ơn thầy, chúc thầy luôn khỏe ạh.

    • Giả sử axtt f: R^m \to R^n , để tìm kerf thì em cho f(x_1,x_2,...,x_m) = 0
      Imf =\{v=(y_1,y_2,...,y_n) \in R^n : \exists u=(x_1,x_2,...,x_m) \in R^m ; f(u)= v \} . Nghĩa là: Imf là không gian con sinh bởi các véc-tơ mà các véc-tơ đó chính là ảnh của các véc-tơ cơ sở của R^m và để đơn giản ta sẽ chọn cơ sở chính tắc (vì mọi cơ sở khác đều có thể biểu thị tuyến tính qua cơ sở chính tắc.
      Bài 17 thì em sử dụng tính chất: nếu A là ma trận của axtt f: V \to V đối với cơ sở E , B là ma trận của f đ/v cơ sở {E'} và C là ma trận đổi cơ sở từ E sang E’ thì: B = C^{-1}.A.C
      Vậy em đã có ma trận A, đã có cơ sở E = \{a_1=(8,-6,7); a_2=(-16,7,-13); a_3=(9,-3,7)\} ; E' =\{b_1=(-38,21,-32); b_2=(21;-17;19); b_3=(-1;-3;0)\} nên chỉ cần tìm ma trận C chuyển cơ sở từ E sang E’ ; sau đó tìm ma trận nghịch đảo C^{-1} và sau đó dùng công thức ở trên để tìm B.

  10. Thầy ơi xin thầy chỉ giúp e với!!! Khi ta nhân (A^T)*A(với A^T là đối của A) thì bài toán này giải quyết sao ah:
    A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right]

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s