Giới hạn của hàm hai biến số

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm M_n(x_n, y_n) dần đến điểm M_0(x_0,y_0) và viết M_n \to M_0 , nếu dãy khoảng cách d(M_n, M_0) dần đến 0 khi n \to \infty .

Nhận xét:

d(M_n;M_0) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}

nên : \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d({x_n};{y_n}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_n} \to {x_0} \\ {y_n} \to {y_0} \\ \end{array} \right.

Ví dụ 1:

\left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{1}{n}} \right) \to \left( 0;0 \right) ; \left({ \dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ \dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} \right)\xrightarrow{n\to \infty }(1;0)

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm (a; b) \in {\mathbb{R}}^2 là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy \{x_n ; y_n \} \in E, (x_n ; y_n) \ne (a; b) sao cho (x_n ; y_n) \to (a; b)

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M_0(x_0, y_0), (có thể trừ điểm M_0 ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến M_0 khi và chỉ khi: với mọi dãy M_n(x_n ; y_n) (\ne M_0) dần tiến đến M_0 ta đều có: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim}} \, f(x_n; y_n) = L

Khi đó, ta viết: \lim\limits_{(x;y) \to (x_0;y_0)} f(x;y) = L hay \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim}} \, f(x;y) = L

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi x \to x_0, y \to y_0 (hay là M(x;y) \to M_0(x_0 ; y_0) nếu:

\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:d(M,M_0)< \delta \Rightarrow \left| f(M)-L \right| < \varepsilon

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến (x_0; y_0) theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến (x_0; y_0) , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy \left(x_n^1;y_n^1 \right) , \left( x_n^2;y_n^2 \right) cùng dần tiến về \left( x_0;y_0 \right) nhưng : f\left( x_{n}^{1};y_{n}^{1} \right)\to {{L}_{1}}\ne f\left( x_{n}^{2};y_{n}^{2} \right)\to {{L}_{2}} .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi x \to x_0, y \to y_0 .

2. Định lý:

Cho \lim f(x;y) = a, \qquad \lim g(x;y) = b thì:

1. \lim \left[ f(x;y)+g(x;y) \right] = a+b

2. \lim cf(x;y) = c.a (c là hằng số hữu hạn)

3. \lim \left[ f(x;y).g(x;y) \right] = a.b

4. \lim \left[ \dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} \right] = \dfrac{a}{b} (b \ne 0)

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

h(x;y)\le f(x;y)\le g(x;y),\forall (x;y)\in D

Hơn nữa: \lim h(x;y) = \lim g(x;y) = 0

Khi đó: \lim f(x;y) = 0

4. Các ví dụ:

a.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{x} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{y.\sin xy}{xy} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, y.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{xy} = 0.1 = 0

b. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Cách 1: Ta xét hai dãy \left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{1}{n} \right),\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{2}{n} \right)\to (0;0)

Ta có: f(x;y) = \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Và: f \left( \dfrac{1}{n} ; \dfrac{1}{n} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{1}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{1}{n^2}}}} \to { \dfrac{1}{2}}

nhưng f \left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{2}{n}} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{2}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{4}{n^2}}}} \to { \dfrac{2}{5}}

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = \dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}

Ta có: 0\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} \right| = \dfrac{1}{2}\left| x \right|, \forall (x,y) \ne (0;0)

Mà: \underset{(x;y)\to (0;0)}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right| = 0

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \left|{ \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} \right| = 0

Vậy: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị y \ne y_0 , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y)=g(y)

Nếu tồn tại giới hạn: \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(y) = a thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi x \to x_0 , y \to y_0 và viết:\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }} \, \left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right) = a .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right)

77 responses to “Giới hạn của hàm hai biến số

  1. ban nao giai giup minh bai nay voi :xet su hoi tu cua tich phan sau:tich phan tu 0 den 2 cua ham so 1/lnx

  2. Thầy viết rõ hơn về việc xác định sự tồn tại của giới hạn kép bằng tọa độ cực được không ạ!Em không hiểu rõ lắm về tọa độ cực. Em thấy trong ví dụ chỉ xác định r-0 mà không xác định phi tiến tới đâu.Thầy giúp em với vì em sắp thi rồi.

  3. Định lý về giới hạn kẹp của hàm 2 biến sao mình không thấy tài liệu nào đề cập.

  4. thưa thầy bài này của bạn money nghia :
    lim x->0 y(x^2+y^2) / [y^2 + (x^2+y^2)^2]
    y->0

    em có thể dùng quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao (x^2+y^2)^2 không

    khi đó giới hạn chỉ còn là : lim x->0 y(x^2+y^2) /y^2
    y->0

    sau đó em lại dùng quy tắc thay tương đương (x^2+y^2)~x^2 —-> đáp số là 0

    vậy thầy cho em hỏi cách đó có dùng được không ạ?????????

    • Với giới hạn hàm 2 biến, em không thể áp dụng qui tắc ngắt bỏ VCB như đối với giới hạn hàm 1 biến được. Lý do khi (x,y) \to (0,0) thì đúng là x, y là những VCB nhưng khi đó, em không thể so sánh giữa 2 VCB x, y được. Nghĩa là không thể biết được giữa x và y thì “đứa” nào là VCB bậc cao hơn. Nên không thể có y^2 + (x^2 + y^2)^2 \sim y^2 , cũng như không thể có x^2 + y^2 \sim x^2

  5. Thầy ơi, để tính giới hạn của hàm hai biến số thì có được áp dụng quy tắc lopitan như đối với giới hạn hàm 1 biến không ạ ? Cách phổ biến hay được sử dụng để tính giới hạn hàm 2 biến là gì ạ ? Em thấy tính bằng giới hạn lặp thật sự rất khó

  6. Có ai cho em biết bằng cách xét với y bằng kx có chứng minh được hàm hai biến liên tục ko ạ. thanks

  7. Thầy ơi, thầy đã ko đăng cách giải rồi, sao thầy ko đăng đáp án cho những sinh viên ko phải khoa thầy còn biết mà đọc chứ thầy?

  8. Thưa Thầy!
    Em xin hỏi: Vì sao ta lại biết được (1/n; 1/n)–>(0;0) và (1/n2; 1/n)–>(0;0)
    Em xin cảm ơn Thầy!

    • bạn ui cái này dễ hiểu mà . ban cu thu nghĩ mà xem khi n dần tới vô cùng thì 1\n dần tới 0 . điều hiển nhiên

  9. Thầy ơi cho em hỏi muốn chứng minh hàm 2 biến liên tục thì làm thế nào và chungs minh nó có đạo hàm nữa ạ!
    Cảm ơn thầy!
    Nếu được thì thầy gửi cho em qua mail thầy nhé!

  10. Thầy ơi cho em hỏi bài này: Tìm giới hạn hàm 2 biến khi (x,y) —-> (0,0). f(x,y) = (x^4 + y^2)/(x^2 + y)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s