Dạng toàn phương

1. Khái niệm dạng toàn phương:

1.1 Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến \mathop x_1,x_2,...,x_n là một hàm bậc hai dạng:

f(x) =f(x_1,x_2,...,x_3) = a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+ ... + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \\ 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n (1)

với các hệ số \mathop a_{ik} là các số thực và các biến x_i là các biến thực.

Nếu ta ký hiệu:

x = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ { \vdots} \\ x_n \\ \end{array} \right] , A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & { \ldots} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & { \ldots} & a_{2n} \\ { \ldots} & { \ldots} & { \ldots} & { \ldots} \\ a_{n1} & a_{n2} & { \ldots} & a_{nn} \\ \end{array} \right] , a_{ik} = a{ki} , chú ý A là ma trận đối xứng.

Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau: f(x) = x^TAx (2) (các bạn có thể kiểm tra bằng cách nhân trực tiếp)

Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng toàn phương có dạng ma trận đối xứng.

Ví dụ 1: Cho hàm bậc hai \mathop f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 6x_1x_2 . Rõ ràng,  f(x) là dạng toàn phương. Ma trận A có dạng: A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & -3 \\ -3 & 2 \\ \end{array} \right]

Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai \mathop g(x) = 2x_1^2 - 3x_2^2 - x_1x_2 + 8x_1x_3 . Rõ ràng,  g(x) là dạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương có dạng: A = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & -{ \dfrac{1}{2}} & 4 \\ -{ \dfrac{1}{2}} & -3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]

1.2 Dạng toàn phương chính tắc:

Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương mà trong biểu thức xác định không chứa các tích \mathop x_ix_j mà chỉ chứa các số hạng bình phương x_i^2

Nghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma trận chéo.

Ví dụ: f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 là 1 dạng toàn phương chính tắc.

2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:

2.1 Phương pháp ma trận trực giao:

Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma trận của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì có nghĩa là ta sẽ chuyển được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.

Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên ta có A luôn có n giá trị riêng thực, và các VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau. Khi đó, nếu P là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A và D là dạng chéo của A thì ta có: P^*AP = D (trong đó P^* = P^T = P^{-1} ). Vậy có thể chuyển A về dạng chéo , nghĩa là chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc

Định lý:

Cho dạng toàn phương \mathop f(x) =x^TAx , với A là ma trận vuông đối xứng cấp n với các giá trị riêng {\lambda}_1,{\lambda}_2 ,..., {\lambda}_n và P là ma trận trực giao làm chéo hóa A: P^T.A.P = D

Khi đó, bằng cách đổi biến x = Py ta đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc sau:

f(x) = x^TAx = \sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j = {\lambda}_1y_1^2+{\lambda}_2y_2^2+... +{\lambda}_ny_n^2

Chứng minh:

Thật vậy ta đặt : x = Py \Rightarrow y = P^{-1}x = P^Tx

Ta có: f(x) = x^TAx = (P.y)^TAPy = y^T.P^T.A.P.y = y^T.D.y

Rõ ràng y^T.D.y = {\lambda}_1y_1^2+{\lambda}_2y_2^2+... +{\lambda}_ny_n^2

Vậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và thực hiện phép đổi biến, ta sẽ đưa về dạng toàn phương chính tắc.

Ví dụ: Cho dạng toàn phương \mathop 2xy + 2xz + 2yz

Ma trận của dạng toàn phương là: A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right]

Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị riêng {\lambda}_1 = -1 , {\lambda}_2 = 2 , {\lambda}_1 là nghiệm kép.

Với {\lambda}_1 = -1 Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình: (A -{\lambda}_1.I_3)X = 0

Hay ta có hệ phương trình: \left\{\begin{array}{c} x+y+z=0 \\ x+y+z = 0 \\ x+y+z = 0 \\ \end{array} \right.

Từ  đó : VTR có dạng: u = (-a-b,a,b) , a^2+b^2 \ne 0 và ta có 2 VTR độc lập tuyến tính là: u_1 = (1, -1,0) , u_2 = (1,0,-1)

Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:

c_1 = \left[\begin{array}{r} { \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \\ -{ \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \\ 0 \\ \end{array} \right] , c_2 = \left[\begin{array}{r} { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} \\ { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} \\ { \dfrac{2}{\sqrt{6}}} \\ \end{array} \right]

Với {\lambda}_1 = 2 Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình: (A -2.I_3)X = 0

Hay ta có hệ phương trình: \left\{\begin{array}{c} -2x+y+z=0 \\ x-2y+z = 0 \\ x+y-2z = 0 \\ \end{array} \right.

Giải hệ này ta được VTR có dạng: u = (a,a,a) , a \ne 0 và ta có 1 VTR độc lập tuyến tính là: u_3 = (1, 1,1) . Rõ ràng, u_3 \perp u_1, u_2

Chuẩn hóa vectơ u_3 ta có: c_3 = \left[\begin{array}{r} { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ \end{array} \right]

Vậy dạng toàn phương chính tắc là: -x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2

Và ma trận P có dạng: P = \left[ \begin{array}{ccc} { \dfrac{1}{\sqrt{2}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ -{ \dfrac{1}{\sqrt{2}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ 0 & { \dfrac{2}{\sqrt{6}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ \end{array} \right]

Và công thức đổi biến là: \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right] = P^T . { \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right]}

Hay: \left\{\begin{array}{l} x_1 = { \dfrac{1}{\sqrt{2}}} (x - y) \\ x_2 = { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} (x+y+2z) \\ x_3 = { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} (x+y+z) \\ \end{array} \right.

Nhận xét: phương pháp trực giao hóa đòi hỏi phải tìm các giá trị riêng. Đây là việc khá khó khăn đối với phương trình bậc cao không có nghiệm đặc biệt. Do vậy, phương pháp này thường chỉ áp dụng cho dạng toàn phương 2 biến, 3 biến hoặc 4 biến. Tuy nhiên, phương pháp này sẽ đặc biệt hữu dụng khi chúng ta nghiên cứu các đường và mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

16 responses to “Dạng toàn phương

  1. Khi đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao như trên thì thầy lại trực chuẩn hóa các vector riêng mà ko phải là chỉ trực giao.

    Em thấy các sách tham khảo cũng trực chuẩn như vậy.
    Vậy khi trực chuẩn và trực giao thì kết quả có thay đổi gì không? Và trực chuẩn hay trực giao thì đúng?

    Nhờ thầy giải thích giúp em! Em cảm ơn!

    • Hệ vecto trực chuẩn là bao gồm 2 ý: hệ trực giao và độ dài các vecto riêng bằng 1.
      Còn phương pháp trực giao ở đây phải được hiểu là tìm 1 ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A. Mà ma trận trực giao là ma trận có A^{-1} = A^{T} và cách nhận biết là: các dòng của ma trận là các vecto trực giao và có modun bằng 1. Và theo lý thuyết thì ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận đối xứng A là 1 ma trận gồm các VTR của ma trận A. Như vậy, phải trực chuẩn hóa hệ VTR là chính xác.
      Vì vậy, ma trận trực giao, phương pháp trực giao có nghĩa hoàn toàn khác hệ vecto truc giao.

    • theo tôi thì không có sự thay đổi nào đáng kể vi khi đó ma trận của cả 2 trường hợp là trực giao ( ta sẽ sử dụng phương pháp chéo hóa ma trận) va trực chuẩn ( sử dụng phương pháp chéo hóa trực giao) sẽ đều cho ta ma trận chéo aij = 0 nếu i # j va aij # 0 nếu i = j
      ( đối với trường hợp chéo hóa trực giao)
      aij = 0 nếu i # j va aij = 1 nếu i = j ( đối với trường hợp chéo hóa trực chuẩn)

    • theo mình nghĩ phải làm như vậy vì chúng ta có 1 dịnh lý rằng.ma trận chuyển từ 1 cơ sở trực chuẩn sang 1 cơ sở trực chuẩn khác là ma trận trực giao (ma trận trực giao là ma trận mà các các vecto cột của ma trận từng đôi một vuông góc với nhau và có độ dài bằng 1).
      mà trong quá trình chúng ta chuyển dạng tòan phương về dạng chính tắc(chúng ta đều xét trên cở sở trực chuẩn)vì thế ma trận đổi cơ sở phải là ma trận trực giao,và vì thế các vecto riêng cần phải trực chuẩn hóa.

  2. Vậy thầy có thể giới thiệu kĩ hơn về phương pháp trực chuẩn hoá Gram-Schmidt được không ạ?

    • CoGang :
      thầy giúp em bài dang toàn phương xác định dương !

      thinh_dhck :
      Xét dấu dạng toàn phương sau bằng cách dung định lý Sylvester
      F(x,y)=9×2 + 6y2 + 12xy – 10xz – 2yz.
      Thầy hướng dẫn giúp em .2yzem thấy nó không âm cung không dương

  3. Xét dấu dạng toàn phương sau bằng cách dung định lý Sylvester
    F(x,y)=9×2 + 6y2 + 12xy – 10xz – 2yz.
    Thầy hướng dẫn giúp em .2yzem thấy nó không âm cung không dương

    • Để xét dạng toàn phương xác định dương, xác định âm. Đầu tiên, bạn cần lập ma trận của dạng toàn phương:
      A = \left[\begin{array}{ccc} 9 & 6 & -5 \\ 6 & 6 & -1 \\ -5 & -1 & 0 \\ \end{array} \right]
      Khi đó: A_1 = 9 ; A_2 = \left|\begin{array}{cc} 9 & 6 \\ 6 & 6 \\ \end{array} \right| = 18 ; A_3 = |A| = -99
      Vậy theo định luật quán tính Sylvester, dạng toàn phương không xác định dấu

  4. Thầy có thể phân tích giúp em ý nghĩa của dạng toàn phương trong thực tế?…..

  5. thầy cho e hỏi. lam sao dể kiểm tra được dạng chính tắc mình vừa đưa về có đúng không

  6. thầy có thể chứng minh cho em tính chất X=S*Y trong phép chuyển cơ sở không ak

  7. Thưa thầy muốn chưng minh dạng toàn phương xác định âm hoặc xác định âm thi làm thế nào ạ!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s