Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân

Một số phương trình vi phân rất khó (nếu không muốn nói là không thể) tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp xác định. Điều này cũng xảy ra ngay cả khi các phương trình vi phân có dạng rất đơn giản. Ví dụ như phương trình sau:

y''- 2x.y' + y = 0   (1)

Đây là phương trình vi phân cấp hai, hệ số hàm nhưng ta không thể tìm được 1 nghiệm riêng dưới dạng hàm số sơ cấp. Tuy nhiên, việc giải các phương trình như dạng phương trình (1) là rất quan trọng vì nó nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý, cụ thể, nó liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử. Vì vậy, ta cần thiết phải xây dựng các phương pháp nhằm tìm nghiệm cho các phương trình dạng này. Một trong các phương pháp thông dụng là ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm của phương trình dưới dạng chuỗi lũy thừa:

y = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n.x^n = c_0 + c_1.x + c_2.x^2 + c_3.x^3 + ... + c_n.x^n (2)

Cơ sở Toán học của phương pháp này là ta thay thế biểu thức (2) vào phương trình vi phân và từ đó xác định giá trị của các hằng số c_0,c_1,c_2,... sao cho nó nghiệm đúng phương trình vi phân. Tuy nhiên, việc này chỉ có giá trị khi chuỗi lũy thừa ứng với các hệ số tìm được phải là chuỗi hội tụ.

Ta nhắc lại một số điều thường gặp đối với chuỗi lũy thừa:

Trong khoảng hội tụ của chuỗi, ta có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng của chuỗi, chuỗi mới nhận được (sau khi lấy đạo hàm hoặc tích phân) cũng có bán kính hội tụ như chuỗi ban đầu.

Trước khi sử dụng chuỗi lũy thừa để giải phương trình 1, chúng ta sẽ minh họa phương pháp này bằng một ví dụ đơn giản hơn phương trình (1). Xét phương trình:

y'' + y = 0 (3)

Theo phương pháp sơ cấp, ta đã biết nghiệm của phương trình (3) có dạng:

y = C_1.cosx + C_2.sinx

Bây giờ, sử dụng phương pháp chuỗi số. Ta giả sử nghiệm của phương trình (3) có dạng:

y = c_0 + c_1.x + c_2.x^2 + c_3.x^3 + ... + c_n.x^n  = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n.x^n (2)

Khi đó, ta có:

y'' = 2c_2 + 2.3c_3x + 3.4c_4x^2 + ... + n(n-1)c_nx^{n-2}  \\ \qquad = \sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n -2}   (4)

Ta lưu ý: Chỉ số của chuỗi thứ (4) bắt đầu với n = 2, do đó để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của y và y” được dễ dàng, ta sẽ viết chuỗi (4) với chỉ số bắt đầu với n = 0, nghĩa là:

y'' = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^{n}   (5)

Đây là kỹ thuật quan trọng nhất trong việc sử dụng phương pháp chuỗi số. Sở dĩ, ta làm được việc này là do ta đặt m = n -2, hay n = m + 2. Khi đó ta có:

y'' = \sum\limits_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)c_{m+2}x^{m}   (6)

Khi đó, theo lý thuyết chuỗi số ta có hai chuỗi (5) và (6) là như nhau. Như vậy, ta thế biểu thức (2) và (5) vào phương trình (3) ta có:

{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^{n}} + { \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n.x^n} = 0

Hay ta có:

\sum\limits_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)c_{n+2}+c_n]x^n = 0  (7)

Theo phương pháp hệ số bất định, hai chuỗi số muốn bằng nhau thì từng hệ số tương ứng phải bằng nhau. Vì vậy, hệ số của x^n ở biểu thức (7) phải bằng 0. Hay:

(n+2)(n+1).c_{n+2} + c_n = 0

Từ đây ta có:

c_{n+2} = - { \dfrac{c_n}{(n+1)(n+2)}}

Như vậy, ta có được công thức truy hồi. Do đó:

Với n = 0: c_2 = - { \dfrac{c_0}{1.2}}

Với n = 1: c_3 = - { \dfrac{c_1}{2.3}}

Với n = 2: c_4 = - { \dfrac{c_2}{3.4}} = { \dfrac{c_0}{1.2.3.4}} = { \dfrac{c_0}{4!}}

Với n = 3: c_5 = - { \dfrac{c_3}{4.5}} = { \dfrac{c_1}{2.3.4.5}} = { \dfrac{c_1}{5!}}

Với n = 4: c_6 = - { \dfrac{c_4}{5.6}} = - { \dfrac{c_0}{4!.5.6}} = - { \dfrac{c_0}{6!}}

Với n = 5: c_7 = - { \dfrac{c_5}{6.7}} = - { \dfrac{c_1}{5!.6.7}} = - { \dfrac{c_1}{7!}}

Vì vậy, theo quy luật trên chúng ta có:

Với các hệ số chẵn: c_{2k} = (-1)^{k} { \dfrac{c_0}{(2k)!}}

Với các hệ số lẻ: c_{2k+1} = (-1)^{k} { \dfrac{c_1}{(2k+1)!}}

Do đó, thế vào chuỗi (2) ta có:

y = c_0 + c_1.x + c_2.x^2 + c_3.x^3 + ... + c_n.x^n \\ = c_0(1- { \dfrac{x^2}{2!}} + { \dfrac{x^4}{4!}} - { \dfrac{x^6}{6!}} + ... + (-1)^{n} { \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}} + ... ) + \\ c_1(x- { \dfrac{x^3}{3!}} + { \dfrac{x^5}{5!}} - { \dfrac{x^7}{7!}} + ... + (-1)^{n} { \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}} + ...  )

Hay:

y = c_0{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{ \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}}} + c_1{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{ \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

Như vậy, ta có kết quả của phương trình phụ thuộc vào 2 chuỗi số với c0 và c1 là 2 hằng số tùy ý. Và, rõ ràng, cả hai chuỗi số đều hội tụ với mọi x thuộc R. Nhận xét:

  • Nếu chúng ta chú ý các dạng của chuỗi Taylor – Maclaurin, thì hai chuỗi số vừa tìm được ở trên chính là khai triển Maclaurin của hai hàm số cosx và sinx. Do đó, nghiệm của phương trình sẽ là:

y = c_0.cosx + c_1.sinx

  • Tuy nhiên, thông thường, ít khi nào ta có thể biểu diễn các chuỗi lũy thừa trong công thức nghiệm dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết.

19 responses to “Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân

  1. mấy anh chị cho em hỏi bài toán này với
    cho a=3+sqrt2, b=3-sqrt2
    và x(n)=1\2(amũ (n)+bmũ(n))

    chứng minh
    với mỗi số tự nhiên n thì x thì x(n) là số nguyên và tìm chứ số hàng đơn vị của x(2008)

  2. Dạ thưa thầy em có một bài toán giải phương trình vi phân sau hy vọng thầy hướng dẫn giúp em
    1)chứng tỏ phương trinh x(x^2+1)y' -(2x^2+3)y=3
    2)chứng tỏ rằng hàm y=x \int\limits_1^x e^{t^2} \, dt là nghiệm của phương trình xy'-y=x^2.e^{x^2} . Tìm nghiệm của phương trình đó thoả mãn điều kiện y(1)=1
    Cám ơn thầy

  3. Bài 1: Xét x \ne 0 : Ta có phương trình thuần nhất:
    y' - { \dfrac{2x^2+3}{x(x^2+1)}}y = { \dfrac{3}{x(x^2+1)}} (1)
    Với phương trình tuyến tính, em có thể sử dụng phương pháp biến thiên hằng số để giải, đầu tiên, giải phương trình thuần nhất liên kết với phương trình trên. Tức là, giải:
    y' - { \dfrac{2x^2+3}{x(x^2+1)}}y = 0
    Sau khi có nghiệm, giả sử y = c.f(x) . Khi đó, nghiệm phương trình (1) có dạng y = u(x).f(x) . Thế vào phương trình tìm u(x), ta sẽ có kết quả.
    Bài 2: Em cần tính đạo hàm và thế vào phương trình để kiểm tra. Để tính đạo hàm, em cần sử dụng tính chất:
    \left(\int\limits_{u(x)}^{v(x)}f(t) \,dt \right)^{'} = v'(x).f(v(x))-u'(x)f(u(x)) . Khi đó sẽ có kết quả.
    P.S: Để biết cách gõ công thức Toán học trong blog, em cần xem phần hướng dẫn ở cột menu bên phải.

  4. thầy ơi, giúp em bài này:
    y’ + y = 4sinx+3cosx
    thầy có thể tìm 1 nghiệm riêng của pt trên được không ạ?
    em cảm ơn thầy.

  5. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Đầu tiên em giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với phương trình (1) là: y' + y = 0 \Rightarrow y = C.e^{-x}
    Vậy nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng y = u(x).e^{-x} , đem thế vào phương trình ta có: u' = (4sinx + 3cosx)e^x . Tách riêng từng tích phân và sử dụng phương pháp tính phân từng phần sẽ có kết quả

  6. thầy ơi, giải giúp em bài này:
    y’cosx + y = 1 – sinx
    nếu áp dụng thầy chỉ em ở bài trước thì em không ra được kết quả.
    em cảm ơn thầy ạ!

  7. thầy ơi cho em hỏi bài này, người ta bảo là ptrình vi fân cấp 1 tuyến tính nhưng sao em ko đưa về dạng mẫu đc. y = x y’ + y’ . lnx
    1 bài tương tự là : 2y dx + ( y ^2 -6x ) dy = 0

  8. Bài 1: (x+lnx) y’ – y = 0 là dạng phương trình tuyến tính rồi đó bạn.
    Bài 2: Bài này thì bạn xem x là hàm theo y thì sẽ đưa về phương trình tuyến tính. Ta có: x' - {3 \over y}.x = -{y \over 2}

  9. xin loi nha, em ghi nham de: y = x y’ + y’ lny
    Con bai thu 2 em lam mai ma dau duoc dau, co fai la dat x = t y dung ko, lam roi ma ko ra. Co the trinh bay chi tiet cho em tham khao ko ah?

  10. Bài 2:
    Giải phương trình thuần nhất: x' - { \dfrac{3}{y}}.x = 0
    Ta có:{ \dfrac{dx}{dy}} = { \dfrac{3x}{y}} \Rightarrow { \dfrac{dx}{x}} = 3.{ \dfrac{dy}{y}} \Rightarrow x = C.y^3
    Ta tìm nghiệm của pt dưới dạng: x = u(y).y^3 (*)
    Ta có: x' = u'.y^3 + 3y^2.u Thế vào phương trình ta có:
    u'.y^3 + 3y^2.u - 3y^2.u = -{ \dfrac{y}{2}} \Rightarrow u' = -{ \dfrac{1}{2y^2}}
    Vậy u(y) = { \dfrac{1}{2y}} + C
    Thế u vào (*) ta có kết quả rồi đó bạn

  11. Cảm ơn bạn Hoàng nha, mình chỉ ko hiểu chỗ bạn nói xem x là hàm theo y thôi. Giờ mình hiểu rồi.
    Nếu vậy cái bài y = x y’ + y’ lny mình cũng làm tương tự, đưa nó về dạng x’ – x / y = lny / y được ko?

  12. Xin chào các bạn!
    Mình là Huấn đang học ở Liên bang Nga và cũng đang nghiên cứu về phương trình vi phân. Của mình là ứng dụng lý thuyết nhóm Li vào dể giải các phương trình vi phân. Lĩnh vực này ở Việt Nam có giáo sư Ngô Ngọc Diệp là làm gần nhất. Bạn viết rất cụ thể về phương pháp dùng dãy số để giải phương trình. Tuy nhiên khi nêu tên các nhà khoa học nên viết bằng tiếng Việt, tiếng anh sẽ có ít người hiểu lắm. Mục đích của bạn là viết lên để cho mọi người cùng đọc đúng không. Vì thế nên viết tất cả bằng tiếng Việt. Mình bật mí là cùng với chuỗi có thêm ứng dụng dãy Phu-ri-ê để giải phương trình đấy. Phương pháp này ứng dụng với các phương trình có nghiệm tuần hoàn ví dụ như bài toán về phương trình dao động của dây đàn ghi ta!

  13. Rất vui khi biết bạn đang làm về lĩnh vực phương trình vi phân. Hướng của mình đang làm là lý thuyết bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân hàm.nhưng cũng còn nhiều trở ngại. Thật bất ngờ khi biết giáo sư Ngô Ngọc Diệp đang nghiên cứu về lĩnh vực này, vì trước đây, GS Diệp chuyên nghiên cứu về lý thuyết nhóm Lie để khảo sát các đa tạp. Nếu bạn có những nguồn tài liệu nào về vấn đề này (tiếng Anh càng tốt), mong bạn share giúp mình.

    Cảm ơn bạn đã góp ý Về việc viết tên Tiếng Việt. Tuy nhiên, hiện tại, đa số các giáo trình đều viết tên các công thức, định lý theo nguyên bản tên của nhà Toán học. Điều này giúp các bạn sinh viên dễ dàng tiếp cận với các nguồn giáo trình tiếng Anh hoặc các tài liệu liên quan. Mặc dù vậy, mình sẽ thêm phiên âm tiếng Việt ngay sau các tên nhà Toán học để mọi người dễ theo dõi.

    Thân mến,

    P.S: Ngoài các cách trên, ta còn có cách ứng dụng dãy Fourier (Phu-ri-ê) và phép biến đổi Laplace để giải ptvp nữa

  14. mình có bài này, không biết có thể sử dụng kiến thức mà bạn nói ở trên để giải không:

    for each integer n \ge 2 , we consider the iteration equation:
    u_n = u_{n -1} + 2u_{n-2} + (-1)^n
    if we put u_o = u_1 = 1 , we obtain a sequence (u_n)_n and for each complex z the power series:
    u(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}u_n.z^n
    if we suppose that R,bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa với |z| < R, ta có: u(z) = \dfrac{1 + z +z^2}{(1-3z)(1+z)^2} là đúng hay sai

    • Bài này không phải là dạng ứng dụng chuỗi số để giải phương trình vi phân mà đây là dạng xây dựng chuỗi số phức khi biết dạng công thức truy hồi của nó. Bài này thuộc phần khai triển Taylor-Maclaurin cho chuỗi số phức. Để giải bài này, cần sử dụng lý thuyết thặng dư cho chuỗi phức.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s