Mẹo phân tích nhanh 1 phân thức

Trong các bài tính tích phân bất định, hoặc những bài tính tích phân của hàm phức bằng lý thuyết thặng dư, bạn ắt sẽ gặp những dạng phân thức hữu tỷ mà để tính được thì phải chuyển về các phân thức hữu tỷ thật sự (có bậc tử bé hơn bậc mẫu và mẫu số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiêm).

Phương pháp chung của dạng toán này là bạn phải sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số. Tuy nhiên, nếu làm theo cách này sẽ rất lâu và tốn nhiều công sức.

Này nhé:

Với { \dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}} (degP(x) \le 2) thì ta phải phân tích thành:

{ \dfrac{A}{x-x_1}}+{ \dfrac{B}{x-x_2}}+{ \dfrac{C}{x-x_3}}

Sau đó, quy đồng mẫu số rồi đồng nhất hệ số hai vế để xác định các hệ số A, B, C.

Việc làm này rất mất thời gian, và đã có nhiều người cải tiến bằng cách: sau khi quy đồng mẫu số thì cho x những giá trị đặc biệt để xác định A, B, C thay cho việc đồng nhất hệ số. Đây cũng là 1 cách hay. Tuy nhiên, thông qua bài viết này, M4Ps muốn giới thiệu đến các bạn 1 mẹo khác,giúp ta tính nhanh các hệ số mà không cần phải trải qua bước quy đồng mẫu số.

Thật vậy, giả sử :

{ \dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}} = { \dfrac{A}{x-x_1}}+{ \dfrac{B}{x-x_2}}+{ \dfrac{C}{x-x_3}}

Để xác định hệ số A, ta chỉ cần che biểu thức (x-x_1) ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: { \dfrac{P(x)}{(x-x_2)(x-x_3)}} (*) . Sau đó thế x = x_1 vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số A, hay:

A = { \dfrac{P(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}}

Tương tự:

Để xác định hệ số B, ta chỉ cần che biểu thức (x-x_2) ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: { \dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_3)}} (*) . Sau đó thế x = x_2 vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số B, hay:

B = { \dfrac{P(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}}

Tương tự:

C = { \dfrac{P(x_3)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}

Ví dụ: \dfrac{2x+1}{x(x-1)(x-2)}

Che thừa số x ở mẫu số và thế x = 0 vào phân thức ta có: A = { \dfrac{1}{2}}

Tương tự, che thừa số x – 1 ở mẫu số rồi thế x = 1 vào phân thức ta có: B = -3 và che thừa số x-2 lại rồi thế x = 2 vào phân thức ta có: C = \dfrac{5}{2}

Như vậy bạn sẽ có:

\dfrac{2x+1}{x(x-1)(x-2)}= { \dfrac{1}{2x}}-{ \dfrac{3}{x-1}}+{ \dfrac{5}{2(x-2)}}

Tiếp tục nhé: bạn sẽ có ngay:

\dfrac{-3z+4}{z(z+1)(z-2)}= { \dfrac{-2}{z}}+{ \dfrac{7}{3(z+1)}}-{ \dfrac{1}{3(z-2)}}

Bạn thử kiểm tra lại xem, có đúng vậy không nào?

Bằng cách này bạn sẽ thấy rằng việc phân tích phân thức hữu tỷ cũng không quá phức tạp và bạn cũng đã lật tẩy được bí kíp vì sao các Thầy có thể tính toán nhanh đến “chóng mặt” phải không.

8 responses to “Mẹo phân tích nhanh 1 phân thức

  1. đây gọi là phương pháp giá trị riêng phải ko thầy. Dùng pp này nhanh hơn nhiều,đỡ nhầm lẫn hơn so với đồng nhất hệ số như trên

    • Vì đây là mẹo nên thật ra Thầy cũng không biết nó là phương pháp gì nữa. Còn gọi là phương pháp giá trị riêng (GTR) thì e là sẽ nhầm lẫn với khái niệm GTR trong ĐSTT

  2. Thực ra cách này là như sau,đâu tiên nhân 2 vế với (x-x1) sau đó cho x->x1 =>A=P(x1)/(x1-x2)(x1-x3).Tương tự với B,C.

  3. thầy ui lỡ như mấy cái đa thức dưới mẫu nó có nghiệm bội thì có cách nào tính nhanh dc không ạh ?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s