Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-tp

I. Trị riêng, vectơ riêng:

1.1 Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường số K (K = \mathbb{R}; \mathbb{C}) . Số \lambda \in K được gọi là giá trị riêng (gọi tắt là trị riêng – kí hiệu GTR) của ma trận A, nếu tồn tại một vectơ 0 \ne u \in K^n sao cho: Au = {\lambda}u

Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng (VTR) của ma trận A ứng với giá trị riêng \lambda

1.2 Tính chất:

1. Giá trị riêng \lambda chính là nghiệm của phương trình $latex  det(A-{\lambda}I) = 0 &fg=ff0000$ (1) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

2. Một giá trị riêng có thể có nhiều vectơ riêng.

3. Mỗi vectơ riêng chỉ ứng với một giá trị riêng duy nhất.

4. Ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó  (trong trường hợp này đa thức đặc trưng được coi là đa thức ma trận, nghĩa là biến số của nó không phải là biến số thực mà là biến ma trận)

5. Nếu {\lambda} = 0 là giá trị riêng của ma trận A thì A không khả nghịch. Ngược lại, nếu mọi GTR của A đều khác không thì A khả nghịch.

6. Nếu {\lambda} là GTR của ma trận A thì {\lambda}^k là giá trị riêng của ma trận A^k

Chứng minh:

1. Số \lambda là trị riêng của A khi và chỉ khi Au = {\lambda}u (u \ne 0) . Suy ra: hệ phương trình  tuyến tính thuần nhất (A-{\lambda}I)u = 0 có nghiệm u{\ne}0 \Leftrightarrow det(A-{\lambda}I) = 0 .

2. Điều này là hiển nhiên vì dựa vào định nghĩa và tính chất 1 thì hệ phương trình (A-{\lambda}I)u = 0 có vô số nghiệm.

3. Giả sử vectơ riêng u_1 ứng với 2 trị riêng {\lambda}_1 ; {\lambda}_2 .

Ta cần chứng minh: {\lambda}_1 = {\lambda}_2 . Thật vậy, ta có :

Au_1 = {\lambda}_1u_1 ; Au_1 = {\lambda}_2u_1 \Rightarrow {\lambda}_1u_1 - {\lambda}_2u_1 = 0 \Rightarrow ({\lambda}_1 - {\lambda}_2)u_1 = 0

Mà: u_1 \ne 0 . Do đó: {\lambda}_1 - {\lambda}_2 = 0

4. Ta có:

P({\lambda}) = det(A -{\lambda}I) \Rightarrow P(A) = det(A - A.I) = det(A-A) = 0

5. Do {\lambda} = 0 là GTR của ma trận A. Do đó:

P(0) = det(A-0.I) = 0 \Rightarrow det(A) = 0 .

Chứng tỏ A suy biến (không khả nghịch).

6. Ta có Au = {\lambda}u . Do đó:

A^2u = (A.A).u = A.(A.u) = A.({\lambda}u) = {\lambda}.Au = {\lambda}^2u .

Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.

Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có 1 cách để tính nhanh |A-aI| . Đó là ta tìm đa thức đặc trưng P({\lambda}) = |A-{\lambda}I| của ma trận A. Sau đó, tính giá trị của P(a).

1.3. Phương pháp giải tìm trị riêng, vectơ riêng:

Bước 1: Giải phương trình đặc trựng det(A-{\lambda}I) = 0 (1) tìm giá trị riêng.

Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng \lambda :

Ứng với mỗi giá trị riêng {\lambda}_i vừa tìm được, ta giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A-{\lambda}_iI)u = 0 (2)

Lưu ý: theo tính chất trên, thì hpt (2) luôn luôn có vô số nghiệm. Do đó, nếu bạn giải pt (2) mà vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất thì phải kiểm tra lại.

1.4 Không gian con riêng ứng với GTR {\lambda}

Các vetơ riêng của ma trận  A ứng với giá trị riêng {\lambda}_0 cùng với vectơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với {\lambda}_0 .

Ký hiệu: E({\lambda}_0) = \left\{u \in K^n : Au ={\lambda}u\right\}

Nếu giá trị riêng {\lambda}_0 là nghiệm bội k thì dimE({\lambda}_0) \le k

1.5 Các ví dụ :

Ví dụ 1. Tìm GTR, VTR của ma trận A: \left[\begin{array}{rr} -1 & 3 \\ -2 & 4 \\ \end{array} \right]

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

P({\lambda}) = det(A-{\lambda}I) = 0 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{rr} -1-{\lambda} & 3 \\ -2 & 4-{\lambda} \\ \end{array} \right| = 0 \Leftrightarrow {\lambda}^2 - 3{\lambda} + 2 = 0

Giải phương trình đặc trưng, ta có: {\lambda}_1 = 1; {\lambda}_2 = 2

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1 ta có VTR u_1 = (x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

(A-I)u_1 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} -2x+3y = 0 \\ -2x+3y = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow 2x = 3y

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_1 = 1 có dạng u_1 = (3a;2a) = (3;2)a ; a \ne 0

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 2

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 2 ta có VTR u_2 = (x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

(A-I)u_2 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} -3x+3y = 0 \\ -2x+2y = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = y

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_2 = 2 có dạng u_2 = (b;b) = (1;1)b ; b \ne 0

Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A: \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right] , xem A là ma trận phức

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

det(A-{\lambda}I) = 0 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{rr} 1-{\lambda} & 2 \\ 2 & 1-{\lambda} \\ \end{array} \right| = 0 \Leftrightarrow (1-{\lambda})^2 + 4 = 0 (1)

Phương trình (1) vô nghiệm thực. Tuy nhiên do A là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình đặc trưng, ta có: {\lambda}_1 = 1+2i; {\lambda}_2 = 1-2i

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1+2i

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1+2i ta có VTR u_1 = (x;y) ; x, y \in C là nghiệm của hệ phương trình:

(A-(1+2i)I)u_1 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} -2ix+2y = 0 \\ -2x-2iy = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow y = ix

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_1 = 1+2i có dạng u_1 = (a;ia) = (1;i)a ; a \ne 0

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 1-2i

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 1-2i ta có VTR u_2 = (x;y) ; x, y \in C là nghiệm của hệ phương trình:

(A-(1-2i)I)u_2 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} 2ix+2y = 0 \\ -2x+2iy = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = iy

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_1 = 1-2i có dạng u_2 = (ia;a) = (i;1)a ; a \ne 0

Ví dụ 3:

a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận: A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ \end{array} \right]

b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định A^{-1}

c. Tính det(A-2008I_3)

d. Tìm GTR, VTR của A.

Giải.

a. Tương tự như các ví dụ trên, ta dễ dàng tìm được đa thức đặc trưng của ma trận A:

P({\lambda}) = {\lambda}^3 -3{\lambda}^2-4{\lambda}+12

b. Theo tính chất 4 ta có: P(A) = A^3-3A^2-4A+12I_3 = 0 . Do đó:

-A^3+3A^2+4A=12I_3 \Rightarrow A(-A^2+3A+4I_3)=(-A^2+3A+4I_3).A=12I_3

Đặt B = { \dfrac{1}{12}}(-A^2+3A+4I_3) .

Ta có: A.B = B.A = I_3 .

Do đó: A khả nghịch và A^{-1} = -A^2+3A+4I_3

c. Ta có P({\lambda}) = det(A-{\lambda}I_3) nên:

det(A-2008I_3) = P(2008) = 2006.2010.2005

d. Từ đa thức đặc trưng ta tìm được các GTR: {\lambda}_1=-2 ; {\lambda}_2=2 ; {\lambda}_3 = 3

Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = -2 có dạng: u_1 = (1;-1;4)a , a \ne 0

VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 2 có dạng: u_2 = (-1;0;1)b , b \ne 0

VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 3 có dạng: u_3 = (-1;1;1)c , c \ne 0

28 responses to “Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)

  1. Thầy ơi khi em học ma trận, sách của em có dùng các từ là Subset và Subspace nó là khái niệm gì trong tiếng việt vậy thầy. Em cảm ơn thầy

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s