Khảo sát đường cong tham số

1. Phương trình tham số của đường cong:

Cho hai hàm số: \left \{ \begin{array}{c} {x = x(t)            \qquad (1)} \\{y = y(t)            \qquad (2)} \end{array} \right.

Khi t thay đổi, điểm \text{M(x(t), y(t))} vẽ nên đường cong (C) trong mặt phẳng tọa độ (Oxy).

Nếu từ (1) ta giải được t theo x ( t = t(x)) rồi thế vào (2) thì ta sẽ có phương trình của đường cong (C) : y = f(x).

Các hàm số {(1), (2)} được gọi là phương trình tham số của đường cong (C).

Ví dụ 1: Xét hyperbol (H): { \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} =1}

Vì hiệu bình phương của { \dfrac{x}{a}} , { \dfrac{y}{b}} bằng 1, nên có thể coi chúng là cht và sht:

\dfrac{x}{a} = cht , \dfrac{y}{b} = sht , t \in \mathbb R

Vậy ta có phương trình tham số của Hyperbol là:

\fbox {x = a.cht ; y = b.sht}

Ví dụ 2: Xicloit là quỹ đạo của một điểm M nằm trên một đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.

Giả sử vòng tròn lăn về phía hướng dương của trục Ox (và lăn trên trục hoành) , vị trí ban đầu của M trùng với gốc tọa độ O.

cycloidanim04.gif

Khi đó, ta dễ dàng xác định được phương trình tham số của quỹ đạo điểm M là:

\fbox {x = a.(t \!- sint) \qquad; \qquad y = a.(1 \!- cost)}

2. Khảo sát đường cong cho bằng tham số:

Việc khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong tham số tiến hành tương tự như đã làm đối với đường cong có phương trình y = f(x) . Gồm các bước sau đây:

  1. Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.
  2. Khảo sát và lập bảng biến thiên:
    • Tính đạo hàm { \dfrac{{dy}}{{dx}} = \dfrac{{{y'}_t}}{{{x'}_t}} = \dfrac{\dot{y}}{\dot{x}} } \qquad (3)

    • Tìm các giá trị của tham số t sao cho tại đó ít nhất một trong các đạo hàm \dot{x} = x_{t}^{'} hay \dot{y} = y_{t}^{'} triệt tiêu. (nếu tồn tại t_0 sao cho \dot{x}(t_{0}) = x_{t}^{'}(t_0) = 0 , \dot{y}(t_{0}) = y_{t}^{'}(t_0) = 0 thì điểm M(x_0 , y_0) là điểm kỳ dị, với x_0 = x(t_0) , y_0 = y(t_0) ).

    • Mỗi khoảng (t_k , t_{k+1}) tương ứng với khoảng (x_k , x_{k+1}) sẽ xác định dấu của y'(x).

    • Tính đạo hàm cấp 2:

    { \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{y''(t).x'(t) -  x''(t).y'(t)}{{[x'(t)]}^3}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} -  {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3}  } \qquad (4)

  3. Từ (4) ta tìm các giá trị để đạo hàm cấp 2 triệt tiêu, từ đó xác định khoảng lồi, lõm của đường cong.
  4. Tìm tiệm cận của đường cong:
  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = a , \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty thì x = a là tiệm cận đứng.

  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = \infty , \lim_{t \to t_0} y(t) = b thì y = b là tiệm cận ngang.

  • Nếu khi t \to t_0 , x \to \infty , y \to \infty và:

lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)} = a , lim_{t \to t_0} [y(t) \! - ax(t) ] = b

thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

3. Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình:

\left \{ \begin{array}{c} {x = acos^{3}t} \\{y = asin^{3}t} \end{array} \right.

Các hàm số x(t), y(t) xác định với mọi t.

Nhưng vì các hàm số acos^{3}t, asin^{3}t là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi nên ta chỉ cần khảo sát với t nằm trong đoạn [0;2\pi ].

Do đó, khoảng biến thiên của x là đoạn [-a; a] và khoảng biến thiên của y là đoạn [-a; a].

Vậy đường cong được khảo sát không có tiệm cận.

Xét khoảng biến thiên. Ta có:

x_t^{'} = -3acos^{2}tsint = 0 khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi

y_t^{'} = 3asin^{2}tcost khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi

y_{x}^{'} = -tg t = 0 khi t = 0, \pi , 2\pi y_{x}^{'} = \infty tại { \dfrac{\pi}{2}} , { \dfrac{3\pi}{2}}

Ta có bảng biến thiên sau:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c}  \hline t & 0 & \quad & {\pi}/2 & \quad & {\pi}  & \quad & 3{\pi}/2 & \quad & 2{pi}  \\  \hline x't & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 &+ & 0 \\ \hline x & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 & \nearrow & a \\ \hline y't & 0 & + & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 \\ \hline \ y'x & 0 & - & || & + & 0 & - & || & + & 0 \\ \hline \end{array}

Tính đạo hàm cấp hai ta có:

\ddot{y} = 6a.cost.sin^{2}t - 3a.cos^{3}t

\ddot{x} = 6a.sint.cos^{2}t - 3a.sin^{3}t

Do đó:

{ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} =  { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } = { \dfrac{1}{3a.cos^{4}t.sint}}

Nhận thấy:

Khi 0 < t < \pi : thì đường cong lõm

Khi \pi < t < 2{\pi} : thì đường cong lồi

Lại có:

Khi 0 \le t \le {\pi}/2 : thì x \ge 0 , y \ge 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất

Khi {\pi}/2 \le t \le {\pi} : thì x \le 0 , y \ge 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ hai.

Khi {\pi} \le t \le 3.{\pi}/2 : thì x \le 0 , y \le 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ ba.

Khi 3{\pi}/2 \le t \le 2.{\pi} : thì x \ge 0 , y \le 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ tư.

Từ những dữ liệu trên ta sẽ có đường cong (C) trong mặt phằng là đường màu đỏ trong hình sau:

astroid01.gif

Phương trình đường cong (C) có được bằng cách lăn đường tròn nhỏ, bán kính a/4 bên tròn đường tròn lớn, bán kính a theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm (1;0)

24 responses to “Khảo sát đường cong tham số

  1. thầy ơi thầy cho em hỏi, trong toạ độ cực thì vi phân ds được tính theo công thức nào? và trong toạ độ cầu thì dv được tính theo công thức nào ah?(Em biết công thức tính nhưng em không nhớ cách chứng minh thế nào?)hihi…sách vở năm nhất em “quăng” mất rồi…
    Thầy ạh, em khi học về phần cơ lý thuyết em có học về tenser, nhưng chỉ là ứng dụng cho mooment quán tính, thầy có tài liệu nào về tensor và ứng dụng của nó cho vật lý nữa không ạh? Em muốn tìm cách ứng dụng tensor vào việc học môn điện động lực thay vì phải dùng định lý Gauss hay chia nhỏ vật ra thành những vi phân vô cùng nhỏ rồi lấy tích phân toàn bộ vật.
    (vì em thấy có một sự tương ứng giữa việc dùng tensor và chia nhỏ vật ra thành những vi phân…)
    em cảm ơn thầy ạh…

  2. thưa thầy em cũng là người tình cờ vào được trang này em thấy rất may mắn .em thấy trang này rất hay và bổ ích em cảm ơn thầy đã giải đáp những thắc mắc mà em ko biết tìm ai để giải quyết

  3. thầy ơi giúp em về tính lồi lõm của đồ thị hàm số với.
    Trong sách Giải Tích nâng cao 12 trang 60 nói rằng :
    Nếu f ”(x) > 0 thì hs lõm trên txđ.
    nếu f ”(x) < 0 thì hs lồi trên txđ.
    Nhưng trong sách Toán Học Cao Cấp tập hai ( nguyễn đình trí ) trang 166 lại nói ngược lại.
    Thầy giảng thêm về tính lồi lõm cho chúng em nhé.
    Em cảm ơn !!!

    • Khái niệm hàm số lồi, hàm số lõm xuất phát từ định nghĩa chính thống sau:
      Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) được gọi là hàm số lồi trên khoảng đó nếu:
      Với mọi x, y thuộc (a,b) ; với mọi t thuộc [0;1] ta có:
      f(tx+(1-t)y) \ge tf(x) + (1-t)f(y)
      Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) được gọi là hàm số lõm trên khoảng đó nếu:
      Với mọi x, y thuộc (a,b) ; với mọi t thuộc [0;1] ta có:
      f(tx+(1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y)
      Từ định nghĩa trẹn, ta có kết quả sau:
      Cho f khả vi đến cấp hai trên (a,b). Khi đó:
      1/ f(x) lồi trên (a,b) khi và chỉ khi f”(x) 0 với mọi x thuộc (a,b)
      Và từ đó, em sẽ có dấu hiệu nhận biết như sau:
      1/ f(x) lồi trên (a,b) nếu mọi điểm của đường cong nằm dưới 1 tiếp tuyến tùy ý của nó trong khoảng đó.
      2/ f(x) lõm trên (a,b) nếu mọi điểm của đường cong nằm dưới 1 tiếp tuyến tùy ý của nó trong khoảng đó.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s