Đạo hàm riêng

I. Đạo hàm riêng cấp một:

Cho z = f(x,y) là hàm theo hai biến số độc lập x, y.

Bây giờ, ta cố định giá trị của biến số y (cho y là hằng số).

Như vậy, ta sẽ có hàm số theo 1 biến số x. Ta xem xét sự thay đổi của hàm số mới này theo biến số x.

Giả sử rằng hàm số z = f(x,y) (coi y là hằng số) có đạo hàm theo biến số x, thì giá trị đạo hàm này sẽ là:

\lim\limits_{\Delta x \to 0 } { \dfrac{f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}}

Ta ký hiệu giới hạn trên là f_{x}^{'}(x,y) , trong đó biến x ở chỉ số dưới, ngầm chỉ rằng đạo hàm được lấy theo biến x khi cố định biến y. Và gọi là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x.

Vậy: chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại điểm (x0, y0) như là đạo hàm thường của hàm f(x, y0) tại điểm x = x0

I.1 Định nghĩa:

Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z = f(x, y) tại điểm (x0, y0) là giới hạn (nếu có)

\lim\limits_{\Delta x \to 0 } { \dfrac{f(x_{0} + \Delta x, y_{0}) - f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}

và được ký hiệu là f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) ,  z_{x}^{'}(x_{0},y_{0}), { \dfrac{ \partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0}) , { \dfrac{ \partial z}{\partial x}}(x_{0},y_{0}) đọc là “del f del x” “del z del x”.

Rõ ràng ta có:

{ \dfrac{ {\partial} f}{{\partial}x}}(x_{0},y_{0}) =  { \dfrac{d}{dx}}f(x, y_{0})|_{x=x_{0}}

Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến số y:

{ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0}) = \lim\limits_{{\Delta}y \to 0 } { \dfrac{f(x_{0} , y_{0} + {\Delta}y) - f(x_{0},y_{0})}{{\Delta}y}}

Nhận xét:

1. Để chỉ ký hiệu đạo hàm riêng, ta dùng ký hiệu \partial thay cho ký hiệu d (vốn dùng để ký hiệu đạo hàm thường – đạo hàm của hàm 1 biến)

2 . Để tính đạo hàm riêng theo biến x, ta chỉ việc xem các biến còn lại là các hằng số và lấy đạo hàm như hàm số 1 biến số x.

3 . Các quy tắc lấy đạo hàm thường vẫn đúng trong trường hợp lấy đạo hàm riêng.

4. Trong thực hành, để tính { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0}), dựa vào định nghĩa, ta có hai cách:

  • Cách 1: tìm { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}} , suy ra { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0}) ( trong trường hợp hàm số { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}} xác định tại (x0, y0).
  • Cách 2: Theo định nghĩa, Lập hàm f(x, y_{0}) tìm { \dfrac{d}{dx}}f(x,y_{0}) , suy ra giá trị { \dfrac{d}{dx}}f(x,y_{0})|_{x=x_{0}} thì đây chính là giá trị { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0})

5. Khi hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng theo các biến, vecto có các thành phần lần lượt là các đạo hàm riêng theo các biến của hàm f được gọi là vecto gradient, ký hiệu

\overline{grad} f(x,y) {\equiv} ({ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,y),{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x,y))

Ta còn dùng ký hiệu {\nabla} f thay cho \overline{grad} f . Ta sẽ đề cập chi tiết về grad f trong các phần sau.

II.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1. Tính { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) , \nabla f(1, 1) biết f(x,y) =  {sin({\pi}xy^{2})}

Ta tính các đạo hàm riêng theo 2 cách:

Cách 1:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} =  { \dfrac{\partial}{{\partial}x}}(sin({\pi}xy^{2})) = {\pi}y^{2}.{cos({\pi}xy^{2})}

Suy ra: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) = {\pi}.{cos({\pi})} = - {\pi}

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} =  { \dfrac{\partial}{{\partial}y}}(sin({\pi}xy^{2})) = {\pi}x.2y.{cos({\pi}xy^{2})}

Do đó: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) = 2{\pi}.{cos({\pi})} = - 2{\pi}

Cách 2: Tính { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) :

Thay giá trị y = 1, ta nhận được: f(x,1) = sin{\pi} x là hàm theo một biến (biến x). Lúc này:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,1)  = (sin{\pi}x)^{'} = {\pi}cos{\pi}x

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) = {\pi}.{cos({\pi})} = - {\pi}

tương tự: f(1, y) = sin{\pi}y^{2} là hàm theo một biến y và

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,y)  = (sin{\pi}y^{2})^{'} = {\pi}x.2y.{cos({\pi}xy^{2})}

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) = 2{\pi}.{cos({\pi})} = - 2{\pi}

Cả hai cách trên ta có cùng 1 kết quả. Bấy giờ, ta suy ra:

{\nabla}f(1,1) = (-{\pi},-2{\pi})

Tuy nhiên, để tìm {\nabla} f thì rõ ràng cách 1 là tổng quát hơn, còn cách 2 chỉ có thể tìm được giá trị của đạo hàm tại 1 điểm cụ thể.

Ví dụ 2: Cho hàm f(x,y) = \left \{ \begin{array}{c c} { \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}} & (x,y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \\ \end{array} \right.

Tìm { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0)

Với hàm số f(x,y) này, ta không thể tìm hàm đạo hàm riêng { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}, { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} , rồi suy ra giá trị đạo hàm riêng tại (0,0), vì hai hàm { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,y) = \dfrac{y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}, { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x,y) = \dfrac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} chỉ xác định với mọi (x,y) khác (0, 0).

Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0). Ta có:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) = { \lim\limits_{{\Delta}x{\to}0}{ \dfrac{f(0+{\Delta}x,0) - f(0,0)}{{\Delta}x}}} = { \lim\limits_{{\Delta}x{\to}0}{ \dfrac{0}{{\Delta}x}}} = 0

Tương tự, ta cũng nhận được { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0) = 0

Nhận xét:

1. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng cách 2 để tìm { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0) .

2. Ta đã biết: đối với hàm số 1 biến, nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì sẽ liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, Theo lý thuyết về giới hạn hàm số hai biến, ta đã biết hàm số trên không liên tục tại điểm (0, 0) mặc dù hàm số trên có 2 đạo hàm riêng tại (0,0). Vì vậy, việc tồn tại đạo hàm riêng chưa đảm bảo sự liên tục của hàm số.

45 responses to “Đạo hàm riêng

  1. Thầy hướng dẫn dùm em bài này :cho z=e^(xy) trong đó y=\varphi(x). Biết \varphi(x) khả vi. Em ko biết cách tính đạo hàm y theo x.

  2. Thầy Thụ Nhân kính mến!

    Em thấy các tài liệu hiện hành không thống nhất trong việc kí hiệu đạo hàm riêng cấp cao.
    Theo cách của thầy (và một số giáo trình khác, ví dụ [b]Giải Tích, tập 1, Nguyễn Xuân Liêm, NXB GD 1997[/b]) thì
    { \dfrac{{\partial}^{2}f}{{\partial}x{\partial}y}} = { \dfrac{{\partial}}{{\partial}y}}\left({ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}\right)

    Tuy nhiên, trong một số tài liệu (điển hình là cuốn [b]Toán cao cấp, tập II(A2), Nguyễn Văn Khuê (cb), Phạm Ngọc Thao, Lê Mậu Hải, Nguyễn Đình Sang; NXB GD 1997[/b] – giáo trình chính thức của ĐHSPHN), thì
    { \dfrac{{\partial}^{2}f}{{\partial}x{\partial}y}} = { \dfrac{{\partial}}{{\partial}x}}\left({ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}\right)

    Rõ ràng không phải lúc nào hai cách viết này cũng cho cùng một kết quả. Vậy thì phải có một cách viết sai? Hay đang có một sự không thống nhất trong cách viết ở đây? Em thật sự thấy bối rối. Rất mong lời giải đáp của thầy.

    Em cảm ơn thầy.

  3. Thầy giúp em bài này với ạ, em sắp thi cuối kì rồi mà em vẫn chưa nắm được phần đạo hàm
    1. Tìm u’x nếu có 2 phương trình:
    \left\{\begin{array}{c} lnu + yx - u = 0 \\ x^2 - xy + y -1 = 0 \\ \end{array} \right.
    Ở đó y = y(x); u = u(x)

    • Đề bài cho y = y(x); u = u(x), xác định bởi hệ pt. Nghĩa là: y và u là 2 hàm ẩn theo biến số x. Em xem phần đạo hàm của hàm số ẩn nhé. Đây là trường hợp hệ hàm ẩn. Pp chung là em lấy đạo hàm hệ pt theo biến số x. Em sẽ có hpt mới với 2 ẩn là u’x và y’x. Giải hpt mới này, em sẽ tìm được u’x theo u, x, y.
      Cụ thể:
      \left\{\begin{array}{c} \dfrac{u_x^{'}}{u} + y + x.y_x^{'} - u_x^{'} = 0 \\ 2x - y - xy_x^{'} + y_x^{'} = 0 \\ \end{array} \right.
      \Rightarrow \left\{\begin{array}{cc} y_x^{'} = & \dfrac{2x-y}{x-1} \\ u_x^{'} = & \dfrac{(-2x^2+y)u}{(x-1)(1-u)} \\ \end{array} \right.

      • thầy ơi em hỏi chút
        sao khi tính Y’x lại còn cả Y
        thế tính Y’x thì làm thế nào ak.

      • Em xem bài đạo hàm hàm ẩn nhé. Vì là hàm ẩn nên có nhiều bài không thể tìm được cụ thể dạng tường minh của hàm số y theo biến số x. Nên kết quả y’ (tốc độ thay đổi giá trị của hàm số) sẽ phụ thuộc vào hàm số y.
        Trong thực tế, vẫn có những hàm có đạo hàm y’ phụ thuộc y. Ví dụ: y = x^x \Rightarrow y' = y.(lnx + 1) . Tuy nhiên, trong trường hợp này, do ta tìm được hàm y nên kq khi thế y = x^x vào thì y’ không còn phụ thuộc y.

    • Em chú ý: g(v) là một hàm tổng quát chưa biết, ta chỉ biết nó phụ thuộc vào v = y – x. Như vậy, g là hàm theo 2 biến x, y được định nghĩa thông qua biến trung gian v. Vậy g là hàm hợp. Vậy, em lấy đạo hàm của g theo biến y bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.
      Cụ thể: z_y^{'} = (x+y)_y^{'}.g(v) + (x+y).g_y^{'} = g(v) + (x+y).g_v^{'}.v_y^{'} = g(v) + (x+y).g_v^{'}.1
      Suy ra: z_{yy}^{''} = (g(v))_y^{'} + \left( (x+y).g_v^{'} \right)_y^{'}
      Hay: z_{yy}^{''} = g_v^{'}.v_y^{'} + (x+y)_y^{'}.g_v^{'} + (x+y).\left( g_v^{'} \right)_y^{'}
      Tức là: z_{yy}^{''} = g_v^{'} + g_v^{'} + (x+y).\left( g_{v}^{'} \right)_v^{'}.v_y^{'}
      vậy: z_{yy}^{''} = 2g_v^{'} + (x+y).g_{vv}^{''}

  4. thầy ơi giải giúp e. giải pt x.z’(x)+y.z’(y)=0. bằng cách đặt x= rcosφ, y= rsinφ. đây là pt của hàm 2 biến với z’(x) la đạo hàm của z’ theo biến x, còn z’(y) là đạo hàm của z’ theo biến y.

    • Ta có: z là hàm theo 2 biến (x;y), còn (x;y) lại là hàm theo hai biến (r, φ) nên z là hàm số hợp của 2 biến (r, φ) thông qua 2 biến trung gian (x,y).
      Khi đó: sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp, em có:
      \left\{\begin{array}{l} z_r^{'} = z_{x}^{'}.x_r^{'} + z_y^{'}.y_r^{'} \\ z_{\varphi}^{'} = z_x^{'}.x_{\varphi}^{'} + z_y^{'}.y_{\varphi}^{'} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} z_r^{'} = z_{x}^{'}.cos{\varphi} + z_y^{'}.sin{\varphi} \\ z_{\varphi}^{'} = z_x^{'}.(-rsin{\varphi}) + z_y^{'}.(rcos{\varphi}) \\ \end{array} \right.
      Từ đó, em tìm được z'(x), z'(y) theo z'(r) và z'(φ) và thế vào pt, em sẽ có pt là: r.z_r^{'} = 0

    • Bài này là dạng đạo hàm riêng theo biến x của hàm 2 biến, nên bạn cứ lấy đạo hàm bình thường thôi mà.
      Ta có: Z”xx =(z’x)’x nên trước tiên bạn tìm z’x. Sau đó, lấy đạo hàm của z’x theo biến x lần nữa thì bạn sẽ có kết quả.
      Ví dụ: z’x = 1.cos(x-2y) + (x-2y).1.(-sin(x-2y)) + 1/(1+(x+2y)^2)
      Bạn làm tiếp nhé.

  5. Dạ, Em chào Thầy.
    ở ví dụ 2:
    Thầy nói đạo hàm theo biến x và đạo hàm theo biến y của hàm f không xác định tại điểm (0,0). Không biết Thầy có đánh máy nhầm không.
    Hàm f không khả vi, nhưng đạo hàm riêng luôn tồn tại tại mọi điểm xác định.

    • theo mình không nhầm đâu bạn nếu bạn cứ máy móc sử dụng công thức tính đạo hàm riêng thì sẽ đưa bạn đến dạng vô định của đạo hàm riêng tại điểm (0,0) , ý của bài toán là muốn bạn phải sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm riêng thôi mà

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s