Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm M_0(x_0;y_0) \in D

1. Định nghĩa:

Ta nói M_0(x_0;y_0) là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại \varepsilon _lân cận của M_o , B(M_0;\varepsilon) sao cho:

f(x_0,y_0) \le f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0)

( f(x_0,y_0) \ge f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0) )

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại \mathop M_0 thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại \mathop M_0

Nhận xét:

- Hàm số \mathop z = f(x;y) đạt cực tiểu (cực đại) tại \mathop M_0(x_0;y_0) nếu: {\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x;y_0+{\Delta}y) - f(x_0;y_0) \ge 0 (\le 0), \forall {\Delta}x , {\Delta}y

- Nếu \mathop {\Delta}f(x_0;y_0) thay đổi dấu khi {\Delta}x , {\Delta}y thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại M_0

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số z = x^3 + y^3 có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét \mathop N(0+{\Delta}x;0+{\Delta}y) là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

{\Delta}f(0;0) = f({\Delta}x;{\Delta}y) - f(0;0) = ({\Delta}x)^3 +({\Delta}y)^3

Với {\Delta}x > 0 , {\Delta}y > 0 : {\Delta}f(0;0) > 0

Với {\Delta}x < 0 , {\Delta}y < 0 : {\Delta}f(0;0) < 0

Vậy {\Delta}f(0;0) thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm \mathop f(x,y) đạt cực trị (địa phương) tại M_0(x_0; y_0) \in D và nếu f có các đạo hàm riêng tại M_0(x_0; y_0) thì:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại M_0(x_0;y_0) (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm g(x) =f(x,y_0) ta có: g(x) = f(x;y_0) \le g(x_0) = f(x_0;y_0) , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay: g'(x_0) = 0

Mặt khác: g'(x_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) . Vậy: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Tương tự, nếu xét hàm h(y) = f(x_0;y) ta sẽ có: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0

Điểm \mathop (x_0;y_o) mà tại đó { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0 , được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số \mathop z = f(x;y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng \mathop M_0(x_0;y_0)

Đặt: A = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) ; B = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0) ; C = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0)

Khi đó:

a. Nếu B^2 - AC < 0 A > 0 (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu B^2 - AC < 0 A < 0 (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.

c. Nếu B^2 - AC > 0 thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu B^2 - AC = 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: z = x^3 + y^3 - 3xy

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số: z = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2


  1. VietQuang
    04/05/2010 lúc 10:02

    The con cac bai toan tim cuc tri co dieu kien hay tim gia tri min max thi sao a?
    Sao ko pho bien luon.

  2. Tuan
    17/05/2010 lúc 21:11

    thay oi cho em hoi phan cuc tri ham nhieu bien khong dieu kien Neu DelTa=0 thi bien luan the nao a. Thanks thay nha

    • 19/05/2010 lúc 07:01

      Có nhiều cách để biện luận em à. Em có thể biện luận dấu của vi phân cấp 3 (dựa vào công thức khai triển Taylor tại điểm Mo cho hàm nhiều biến) hoặc em dùng chính định nghĩa để khảo sát dấu của \Delta f

  3. xuyên
    19/05/2010 lúc 00:26

    Thầy cho tôi hỏi:Thắc mắc về định nghĩa cực trị
    Trong một số giáo trình TCC (toán cao cấp) về định nghĩa cực đại, có định nghĩa f(M)<=f(Mo), có định nghĩa f(M)<f(Mo), như vậy hai định nghĩa này có mâu thuẫn ko? định nghĩa nào đúng, định nghĩa nào sai, hay cả hai đều đúng, vì theo tôi:
    – Nếu theo định nghĩa f(M)<=f(Mo) thì không chặt chẽ cho lắm, vì trong trường hợp dấu bằng xảy ra thì ta kết luận Mo là gì? điểm cực đại hay điểm cực tiểu?

  4. haukute
    21/05/2010 lúc 19:24

    thầy ạ, thầy cho em hỏi: điểm giống và khác nhau cua cực trị địa phương và cực trị ạ; và khi nào thì cực trị địa phương trùng với cực trị? có bao nhiêu cách để tìm cực trị hàm số.

  5. mhahd
    23/06/2010 lúc 16:24

    em có bài tập này muốn hỏi thầy tìm cực trị hàm số mà khi ta tính xong điểm dừng rồi rồi đạo hàm cấp 2 có được ma trận toàn phương nhưng khi thay điểm dừng vào thì a1=0,a2=0, a3>= thế thì hàm có cực trị không ?
    mong thầy hoặc ai đó giup đỡ

  6. trung dung
    18/10/2010 lúc 23:44

    thầy cho em hỏi nếu đề bài là tìm cực trị không điều kiện của hàm số: f=x^4 + y^4 -2x^2 +4xy -2y^2 +1.thì tại điểm dừng M(0;0) thì D=0.vậy khi xét làm thế nào để xem điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu hoặc là không phải là cực trị ạ?

    • 19/10/2010 lúc 09:15

      Trong trường hợp này, em có thể dùng định nghĩa về cực trị để xét dấu trực tiếp \Delta f = f(0+h;0+k) - f(0;0)
      Em có: \Delta f = h^4 + k^4 -2h^2 +4hk -2k^2 = h^4 + k^4 -2(h-k)^2
      – Nếu h = k thì \Delta f \rm{> 0}
      – Nếu h = -k thì \Delta f = 2h^4 - 8h^2 = 2h^2(h^2-4)
      Vậy nếu 0 \le h \le 2 thì \Delta f \rm{< 0}
      Do đó: \Delta f thay đổi dấu nên không đạt cực trị.

  7. thai
    26/10/2010 lúc 20:58

    Làm thế nào để tính được B thưa thầy.

  8. Mi
    04/01/2011 lúc 22:02

    thầy và các bạn giúp em tìm cách giải bài tìm cực đại của dạng toàn phương, em cam on nhieu

Comment pages
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: