Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: Từ 1 đoạn thẳng có độ dài là a. Hãy tạo thành 1 tam giác có diện tích lớn nhất

Ký hiệu ba cạnh tam giác là x, y, z và p là nửa chu vi tam giác.

Ta cần tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Bài toán đưa về t2im cực đại của hàm số:

S = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)} (công thức Hê-rông),

trong đó x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y +z = a

Ví dụ 2: Từ một mảnh sắt có diện tích 2a. Bạn hãy làm 1 cái hộp dạng hình hộp sao cho nó có thể tích lớn nhất.

Ta ký hiệu chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hộp là x, y, z

Bài toán đưa về tìm cực trị của hàm số V = xyz , trong đó diện tích xung quanh của hình hộp phải bằng 2a, hay x, y, z phải thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = a.

Như vậy, trong thực tế, có rất nhiều bài toán cực trị nhưng các biến số không phải là biến độc lập, mà chúng bị ràng buộc bởi những điều kiện phụ nào đó.

2. Mô hình bài toán tìm cực trị có điều kiện:

Xét bài toán: tìm cực trị của hàm z = f(x,y) (1) , trong đó x, y là các biến thỏa điều kiện g(x,y) = 0 (2)

Nhận xét: mô hình bài toán có điều kiện chỉ xét với điều kiện (2) là 1 phương trình. Như vậy nếu điều kiện (2) có dạng: g(x,y) < 0 (hoặc g(x,y) > 0) (2′) thì được hiểu là tìm cực trị địa phương của hàm z = f(x,y), trong đó ta chỉ xét những điểm dừng nằm trong miền thỏa mãn điều kiện (2′)

3. Định nghĩa:

Ta nói rằng hàm z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 đạt cực tiểu tại \mathop {M_0(x_0;y_0)} nếu tồn tại một lân cận B(M_0;{\epsilon}) của M0 sao cho:

f(x,y) \ge f(x_0;y_0) , \forall (x,y) \in B(M_0;{\epsilon} thỏa: g(x,y) = 0

cuctriThông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của đường cong (C). Như vậy, ta chỉ so sánh f(M_0) với \mathop f(M) khi M nằm trên (C).

Tương tự, ta cũng có định nghĩa cực đại có điều kiện.

Cực tiểu có điều kiện và cực đại có điều kiện được gọi chung là cực trị có điều kiện.

4. các phương pháp tìm cực trị có điều kiện:

4.1 Cách 1: Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm được y = y(x) thì khi thế vào hàm số z = f(x,y) ta có z là hàm theo 1 biến số x: z = f(x,y(x)) . Như vậy, bài toán trở về bài toán tìm cực trị của hàm số 1 biến. —–> Quá quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z = \sqrt{x^2+y^2-1} với điều kiện x + y = 1

Từ điều kiện trên ta rút ra: \mathop y = 1 - x . Như vậy y xác định với mọi x.

Thay vào hàm số ta có:

z = \sqrt{x^2+(1-x)^2-1} = \sqrt{2x^2-2x} = {\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x}}

Đây là hàm số 1 biến, hàm số này xác định khi \mathop x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 v x \ge 1

Ta có: { \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{ \dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2 - x}}} \Rightarrow  { \dfrac{dz}{dx}} = 0 \Leftrightarrow x = { \dfrac{1}{2}}

Như vậy, hàm số không có cực trị có điều kiện vì \mathop x = { \dfrac{1}{2}} không thuộc miền xác định của hàm số.

4.2 Cách 2: phương pháp Larrange:

Nếu từ pt (2) ta không giải tìm y theo x được. Khi đó, giả sử (2) xác định 1 hàm ẩn theo biến x:  y = y(x) . Để tồn tại hàm số ẩn, ta giả thiết { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} \ne 0 (*)

Như vậy: hàm số z = f(x;y) , với y là hàm theo x chính là hình ảnh hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y.

Với những giá trị của x làm cho z có thể có cực trị thì đạo hàm của z theo x phải triệt tiêu.

Vậy lấy đạo hàm của (1) theo biến x với quy tắc hàm hợp (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

{ \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}}

Do đó, tại những điểm cực trị ta phải có:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0 (3)

Từ điều kiện  (2), ta lấy đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0 (4)

Đẳng thức (4) này được thỏa mãn với mọi x, y thỏa mãn phương trình (2).

Như vậy, tại những điểm cực trị thỏa mãn điều kiện (2) thì sẽ thỏa mãn (3) và (4)

Nhân các số hạng của (4) với hệ số chưa xác định \mathop \lambda và cộng chúng với các số hạng tương ứng của (3), ta được:

\left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} \right) + {\lambda} \left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} \right) = 0

Hay:

\left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} \right) + \left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} \right) { \dfrac{dy}{dx}} = 0 (5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại những điểm cực trị thỏa điều kiện (2). Từ (5), ta chọn hằng số \mathop \lambda sao cho tại những điểm cực trị, hệ số của { \dfrac{dy}{dx}} sẽ triệt tiêu.

Nghĩa là: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 (6)

Vì vậy, từ phương trình (5) và (6) ta có: những điểm cực trị có điều kiện sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{l} { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} = 0 \qquad (I) \\ { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 \\ g(x,y) = 0 \\ \end{array} \right.

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange: F(x,y,{\lambda}) = f(x,y) + {\lambda}g(x,y)

Khi đó các điểm cực trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn hệ:

\left\{\begin{array}{l} F_x^{'} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} = 0 \qquad (II) \\ F_y^{'} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 \\ F_{\lambda}^{'} = g(x,y) = 0 \\ \end{array} \right.

Từ (I) và (II) ta nhận thấy: những điểm dừng của hàm Larrange có thể là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện (2).

Như vậy, bài toán cực trị có điều kiện trở về bài toán cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở đây {\lambda}   chỉ đóng vai trò phụ và sau khi tìm được giá trị {\lambda} thì không cần đến.

Điều kiện của cực trị có điều kiện liên quan đến việc khảo sát dấu của vi phân cấp 2 của hàm Larrange tại điểm (x_0; y_0) :

d^2F = { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) (dx)^2 + { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0)dxdy + { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0) (dy)^2

trong đó: dx, dy không phải là những giá trị bất kỳ mà phải thỏa điều kiện:

{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}}(x_0;y_0) dx + { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}}(x_0;y_0) dy = 0 trong đó: dx^2 + dy^2 \ne 0

Nếu d^2 F > 0 với mọi giá trị có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện.

Nếu d^2 F < 0 với mọi giá trị có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện.

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc xét dấu vi phân cấp 2 hơi phức tạp. Khi đó, ta có thể áp dụng kết quả sau:

Giả sử  (x_0;y_0) là 1 điểm dừng của hàm Larrange, ứng với giá trị {\lambda}_0 và đặt:

A = F_{xx}^{''}(x_0;y_0); B = F_{xy}^{''}(x_0;y_0) ; C = F_{yy}^{''}(x_0;y_0); \\ D = g_x^{'}(x_0;y_0); E = g_y^{'}(x_0;y_0)

Khi đó xét : \Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & D & E \\ D & A & B \\ E & B & C \\ \end{array}\right|

Nếu \Delta > 0 thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện tại (x_0;y_0)

Nếu \Delta < 0 thì hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện tại (x_0;y_0)

Trang: 1 2

  1. anh tuấn
    21/02/2011 lúc 23:46

    bài tập này hay đấy nhưng cần nhiều hơn để rèn luyện….
    thank you………

Comment pages
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: