Tích phân suy rộng (Improper Integrals)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

\mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \int\limits_a^b {f(x)dx: = } \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ: \int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} là hội tụ; \int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{x}} là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1. \int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_1^b{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to \infty}\left(\left.{arctanx}\right|_{x=1}^b\right)=\lim\limits_{b \to +\infty} \left(arctanb - \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}

2. \int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_{1}^{b}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \left. {lnx}\right|_{x=1}^b = \lim\limits_{b \to +\infty} lnb = +\infty .

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng: I = \int\limits_0^{\infty} t.e^{-2t} dt

Ta có: I = \lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_0^{b} t.e^{-2t} dt (*)

- Trước tiên,  Tính tích phân: \int\limits_0^b t.e^{-2t} dt

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

\int\limits_0^b t.e^{-2t} dt = \left( -\dfrac{1}{2}t.e^{-2t} -\dfrac{1}{4}e^{-2t} \right)_{t=0}^b = \left(-\dfrac{1}{2}b.e^{-2b} -\dfrac{1}{4}e^{-2b} + \dfrac{1}{4}\right)

Thế vào (*) ta có:

I = -\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left((2b-1)e^{-2b} -1 \right) = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left( \dfrac{2b-1}{e^{2b}}\right) = \dfrac{1}{4}

(do \lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2b-1}{e^{2b}} \underset{=}{L'H} \lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2}{2e^{2b}} = 0 )

Vậy: I hội tụ và I = \dfrac{1}{4}

1.2 Định nghĩa:

\int\limits_{ - \infty }^c {f(x)dx} : = \mathop {\lim }\limits_{d \to  - \infty } \int\limits_d^c {f(x)dx}

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: \mathop\int\limits_a^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{{x^s }}}} {\rm{ a > 0 ; }}{\rm{ s > 0}}

Nếu s \rm{ > 1} thì tích phân hội tụ.

Nếu s \le 1 thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có: \mathop\int\limits_a^{+\infty}{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}\int\limits_a^c{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1 - s}} \left[ {\dfrac{1}{{{x^{s - 1}}}}} \right]_{x=a}^c ‘ title=’\mathop\int\limits_a^{+\infty}{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}\int\limits_a^c{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1 – s}} \left[ {\dfrac{1}{{{x^{s - 1}}}}} \right]_{x=a}^c ‘ class=’latex’ /></p>
<p style="text-align:justify;"><span style="font-size:11pt;">Với s > 1. Khi đó:</span></p>
<p style="text-align:center;font-size:11pt;"><img src=

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s < 1:

\lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1-s}}\left({\dfrac{1}{c^{s-1}}}-{\dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)= \lim\limits_{c \to +\infty}\left[{\dfrac{1}{1-s}}\left({c^{1-s}- \dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)\right]= + \infty (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:

  1. Nếu \int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx} hội tụ thì tích phân \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} hội tụ
  2. Nếu \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} phân kỳ thì tích phân \int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx} phân kỳ.

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).

Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = k (0 \rm{< k} \rm{< +\infty} ) thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nhận xét:

- Để xét sự hội tụ của tích phân \int\limits_a^{+\infty} f(x) dx , ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1 . Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).

1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

\int\limits_2^{+\infty}{\dfrac{dx}{lnx}} .

Rõ ràng: hàm f(x) = \dfrac{1}{lnx} là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc [2,+{\infty}) .

Khi x \to +{\infty} : lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.

Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:

\rm{lnx < } x , \forall x \ge 1

Vậy:

\int\limits_2^{+{\infty}}\dfrac{dx}{lnx} \ge \int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x}

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân \int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x} phân kỳ).

Ví dụ 3

\int\limits_{1}^{+{\infty}}{\dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}}}dx ‘ title=’\int\limits_{1}^{+{\infty}}{\dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}}}dx ‘ class=’latex’ /> . $latex $</p>
<p style="text-align:justify;"><span style="font-size:11pt;"> Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy: </span></p>
<p style="text-align:justify;"><span style="font-size:11pt;"> Khi <img src=

{\sqrt{1+x}} \sim x^{\frac{1}{2}} , {\sqrt[3]{1+x^2}} \sim x^{\frac{2}{3}}

Vậy:

f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}} \sim \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} = g(x)

Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên [1;+∞) nên \int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \int\limits_1^{+\infty} g(x) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác: \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} dx hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

I_4=\int\limits_0^{+\infty}{\dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2}} dx ‘ title=’I_4=\int\limits_0^{+\infty}{\dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2}} dx ‘ class=’latex’ /> . $latex $</p>
<p style="text-align:justify;"><span style="font-size:11pt;">Khi <img src= ta có:

f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} \sim \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2} = \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = g(x)

Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi x \ge 0 , còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

I_4 = \int\limits_0^{1} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx + \int\limits_1^{\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx

- Do \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} xác định và liên tục trên [0;1] nên \int\limits_0^1 \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx là tích phân xác định nên hội tụ.

- \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx \sim \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{5/3}} nên hội tụ.

Vậy tích phân I4 hội tụ.

Trang: 1 2 3

  1. 01/05/2010 lúc 23:59

    Em chao thầy. Thầy giúp dùm em bài toán này với. Em cám ơn thầy trước.
    BIỆN LUẬN SỰ HỘI TỤ
    I= Tích phân cận từ 3->âm vô cùng của X mũ anphal cộng 3X bình phương -1 chia cho X mũ 4 + x mũ 3 -2X bình phương + 5X + 1

  2. ngaymai
    18/10/2010 lúc 13:18

    thay giai gium em bai tich phan nay voi.Xac dinh do la tich phan suy rong hay hoi tu, gthich?
    I= tich phan can tu 1 -> duong vo cung cua cos(x)/x, va J=tich phan can tu 1 -> duong vo cung cua sin(x)/x, K=tich phan can tu 1 -> duong vo cung cua (e mu x)/x.
    em cam on thay nhieu.

    • 18/10/2010 lúc 21:45

      1. \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{cosx}{x} dx (hàm lấy tích phân có dấu bất kỳ) và tích phân này không hội tụ tuyệt đối nên em dùng dấu hiệu Dirichlet.
      Ta có: \forall b \ge 1: \left| \int\limits_1^b cosxdx \right| = \left| sinb - sin1 \right| \le 2
      Hàm số \dfrac{1}{x} giảm trên [1; +\infty) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0
      Em xét tương tự cho 2 bài còn lại.

  3. ngaymai
    22/10/2010 lúc 11:33

    thầy giải thích giùm em bài tích phân suy rộng xác định hệ số này với ạ.
    \int\limits_{1}^{+\infty } \left( \dfrac{cosx}{x} + \dfrac{a\sqrt{x}}{1+sin^{2}x} \right) dx

    • viennv92
      29/11/2010 lúc 11:11

      Bài này ta phân tích thành 2 tích phân cosx/x và a can x / 1 cộng sinx bình phương thì tích phân 1 hội tụ, còn tích phân 2 biến đổi thành 1 cộng 1 trừ cos2x/2 , sử dụng VCB suy ra tích phân 2 tương đương a / x mũ 3:2. Tích phân này hội tụ nên tích phân sẽ hội tụ.

      • 30/11/2010 lúc 16:21

        Em giải chưa chính xác. Khi x \to \infty thì 1 - cos2x không phải là VCB nên không thể thay thế bằng VCB tương đương được.
        Với tích phân: \int\limits_{1}^{+\infty} \dfrac{a{\sqrt{x}}}{1 +sin^2x} dx , em có:
        \dfrac{a{\sqrt{x}}}{1+sin^2x} \ge \dfrac{a{\sqrt{x}}}{2} ; \forall x \ge 1
        Mà tích phân \int\limits_1^{\infty} \dfrac{a\sqrt{x}}{2} dx phân kỳ với mọi a khác 0.
        Nên để tích phân ban đầu hội tụ thì a = 0.

  4. ngaymai
    22/10/2010 lúc 21:59

    thêm 2 bài nữa nghen thầy.
    1. xác định hệ số a để tích phân hội tụ: \int\limits_{o}^{+ \infty} \dfrac{sinax}{x^{2}+1} dx
    2. xác định hệ số a để tích phân hội tụ: \int\limits_{1}^{+ \infty} \dfrac{e^{ax}}{x^{b}} dx ; (a \ne 0 )
    Đối với bài 2 thầy có thể khái quát cho em công thức để tính các hàm tương tự với ạ.
    Vì em thi trắc nghiệm.

  5. juki
    19/12/2010 lúc 15:06

    e chào thầy.e học khoa kế toán là sinh viên năm nhất.bọn e chuẩn bị thi học kì toán cao cấp phần giải tích. thầy cho e một vài dề thi về phần này ạ. em cảm ơn thầy.

  6. MaiTuAnh
    19/12/2010 lúc 21:21

    thầy ơi, hình như ở mục 2.4.1 ở chỗ hai cận của tích phân, thầy quên chưa sửa kí hiệu ‘vô cùng’ thành ‘b’ phải không thầy?

  7. Bao
    22/12/2010 lúc 08:23

    thưa thầy nếu viết:nếu f(x)liên tục trên đoạn a b thì hàm F(x)=tích phân từ a đến x củaf(t)dt khả vi trên đoạn a b có đúng không thày

    • 22/12/2010 lúc 22:23

      Em có:
      - Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì nó khả tích trên [a, b]
      - Nếu f(x) khả tích trên [a,b] thì F(x) =\int\limits_a^x f(t)dt liên tục với mọi x \in [a,b] và khả vi trên [a,b] và: F’(x) = f(x).
      Vậy từ 2 tính chất trên thì hiển nhiên có tính chất em vừa đề cập.

      • trung
        26/12/2010 lúc 16:03

        Thầy hướng dẫn em bày này được không ạ
        Xét tính hội hội tụ của
        dx/( x^p + x^q) ( p,q >0)
        Cận từ 0 –> dương vô cùng.

      • 26/12/2010 lúc 19:33

        Bài này có cận vô cùng lại thêm hàm không bị chặn (gián đoạn) tại x = 0 nên em phải tách thành 2 tích phân.
        \int_0^1 \dfrac{dx}{x^p+x^q} + \int\limits_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^p+x^q}
        Với tích phân 1: em có khi x tiến đến 0 thì x^p+x^q là tổng 2 VCB sẽ tương đương VCB bậc thấp hơn.
        Với tích phân 2: em có khi x tiến đến vô cùng thì x^p + x^q là tổng 2 VCL sẽ tương đương với VCL bậc cao hơn.
        Như vậy, em sẽ xét các giá trị của p,q.
        Có các trường hợp:
        p = q > 1
        p = q = 1
        p = q q > 1
        q < p 1 > q

  8. trung
    26/12/2010 lúc 17:41

    2Bo02B :
    Bài này đổi biến ta có:
    Sau đó, ta so sánh tích phân mới với tích phân
    Sử dụng dấu hiệu so sánh, tích phân trên sẽ hội tụ.

    Em không hiểu cho lắm, vì sao lại so sánh vs dx/t^2 ạ ??

    • 26/12/2010 lúc 19:14

      Em có thể tính trực tiếp tích phân \int\limits_0^{\infty} te^{-t} dt . Khi đó, em cũng có thể kết luận được tích phân hội tụ.

  9. Tranduynien
    28/12/2010 lúc 08:41

    Ví dụ: Xét sự hội tụ của tích phân \int\limits_{a}^{+\infty} \dfrac{sinx}{x^{\alpha}} dx (\alpha \rm{> 0}

    Đặt f(x) = sinx ; g(x) = \dfrac{1}{x^{\alpha}} thì:

    1/ \left| \int\limits_a^A sinx dx \right| = |cosa - cosA| \le 2

    2/ Dễ dàng kiểm tra g(x) đơn điệu giảm về 0 khi x \to + \infty

    Vậy theo dấu hiệu Dirichlet, tích phân đã cho hội tụ.
    Dấu hiệu Dirichlet chỉ dùng trên một đoạn hữu hạn thôi mà, sao ở đây lại dùng trong trường hợp vô hạn nhỉ?

    • 28/12/2010 lúc 23:11

      Em xem kỹ lại tiêu chuẩn Dirichlet nhé. Dĩ nhiên, dấu hiệu Dirichlet có 2 trường hợp:
      - Một tiêu chuẩn dùng cho tích phân có cận vô hạn và tiêu chuẩn còn lại dùng cho tích phân của hàm không bị chặn.
      Mặc dù vậy, với tích phân suy rộng loại 2, với những hàm thỏa dấu hiệu Dirichlet thì những hàm đó cũng tìm được những hàm tương đương nên chỉ cần dùng tiêu chuẩn so sánh là đủ. Do đó, rất hiếm giáo trình trình bày dấu hiệu Dirichlet đối với tích phân suy rộng loại 2.

  10. pkThanh92
    28/12/2010 lúc 22:23

    Tích phân f(x)dx là tích phân suy rộng -> nếu x*f(x) = 0 tại lân cận điểm gián đoạn hay tại vô cực thì đều hội tụ, còn không thì phân kỳ hết. (tất cả các ví dụ các bạn post ở trên đều đúng với khẳng định này, tuy nhiên tôi chưa thấy sách nào bảo nó đúng cả).

    • 28/12/2010 lúc 23:20

      Mệnh đề mà em đưa ra chưa chính xác. Ta có phản ví dụ:
      \int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{sinx}{x} dx (*)
      Ta có: f(x) = \dfrac{sinx}{x}
      Khi đó: \lim\limits_{x \to \infty} x.f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} sinx (không tồn tại giới hạn).
      Do đó, theo mệnh đề của em thì tích phân (*) phân kỳ. Tuy vậy, tích phân này lại là tích phân hội tụ (theo dấu hiệu Dirichlet).

    • 28/12/2010 lúc 23:38

      Phản ví dụ 2:
      Xét tích phân: \int\limits_{0}^1 \dfrac{lnx}{x^2-1} dx
      Ta có: f(x) = \dfrac{lnx}{x^2-1}
      Khi đó: \lim\limits_{x \to 1} xf(x) = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{xlnx}{x^2-1} = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{lnx + 1}{2x} = \dfrac{1}{2} \ne 0
      Tuy vậy, tích phân này vẫn là tích phân hội tụ chứ không là tích phân phân kỳ.

    • 28/12/2010 lúc 23:45

      Phản ví dụ 3:
      Xét tích phân \int\limits_{2}^{+\infty} \dfrac{dx}{xlnx}
      Tích phân này là tích phân phân kỳ nhưng:
      \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{xlnx} = 0
      Tóm lại, mệnh đề mà em đưa ra hoàn toàn không chính xác.

  11. Lê Ngọc Hoàng Huy
    29/12/2010 lúc 18:36

    Chào thầy,em không biết viết kí tự toán học,thầy chịu khó đọc và giúp em 2 bài này nhé,thanks thầy :
    Bài 1 : khảo sát sự hội tụ của tích phân: \mathop \int\limits_2^{+\infty} \dfrac{\sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \right)}{\sqrt{x-2}} dx
    Bài 2: tìm miền hội tụ của chuỗi: \mathop \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nn!2^n}{(4n+1)!}x^n
    Em giải ra được bài 1 : tích phân hội tụ ; bài 2 : miền hội tụ là D=R ; bán kính hội tụ = vô cùng
    Thầy chỉ em xem chỗ nào để biết kí hiệu toán học luôn nhé, để em dễ comment với thầy
    Thanks thầy

    • 30/12/2010 lúc 07:56

      Em xem cách viết công thức Toán ở phần Đôi lời phía bên phải nhé.
      Bài 1: dạng tích phân suy rộng loại 1, lại thêm hàm gián đoạn tại x = 2 nên có thêm tích phân suy rộng loại 2. Em cần phải tách thành 2 tích phân.
      \int\limits_2^3 \dfrac{\sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \right)}{\sqrt{x-2}} dx + \int\limits_3^{+\infty} \dfrac{\sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \right)}{\sqrt{x-2}} dx
      Với tích phân đầu:
      Kh x \to 2 : f(x) = \dfrac{\sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \right)}{\sqrt{x-2}} \sim \dfrac{\sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{8}} \right)}{\sqrt{x-2}} = g(x)
      (em chứng minh được \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1 )
      Nên: \int\limits_2^3 f(x) dx ; \int\limits_2^3 g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
      Mà tích phân \int\limits_2^3 \dfrac{\sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{8}} \right) dx}{\sqrt{x-2}} hội tụ nên \int\limits_2^3 f(x) dx hội tụ.
      Với tích phân thứ 2:
      Khi x \to +\infty :
      sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}\right) \sim \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} ; \sqrt{x-2} \sim \sqrt{x}
      f(x) = \dfrac{\sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \right)}{\sqrt{x-2}} \sim \dfrac {\dfrac{1}{x^{3/2}}}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{x^2} = g(x)
      Nên: \int\limits_3^{+\infty} f(x)dx ; \int\limits_3^{+\infty} g(x) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
      Mà tích phân \int\limits_3^{\infty} \dfrac{dx}{x^2} hội tụ nên \int\limits_3^{+\infty} g(x) dx hội tụ.
      Tóm lại, tích phân cần xét là hội tụ.

      Bài 2: kết quả của em là đúng.

  12. hoàng
    30/12/2010 lúc 11:48

    \int\limits_{1}^{+\infty}{ \dfrac{sinx}{x^2}} \, dx hội tụ, nhưng \int\limits_{0}^{+\infty} { \dfrac{sinx}{x^2}} \, dx  phân kỳ.

    thầy giải thích dùm với thầy ơi ^^

    • 30/12/2010 lúc 22:30

      Tích phân đầu hội tụ theo dấu hiệu Dirichlet.(Hoặc hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh 1).
      Tích phân sau vừa là tích phân suy rộng loại 1 (có cận vô hạn), vừa có điểm gián đoạn x = 0. Nên:
      \int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac{sinx}{x^2} dx = \int\limits_0^1 \dfrac{sinx}{x^2} dx + \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{sinx}{x^2} dx
      Như vậy, sự hội tụ của tích phân chỉ còn phụ thuộc vào \int\limits_0^1 \dfrac{sinx}{x^2} dx
      Ta có hàm lấy tích phân là hàm dương với mọi x thuộc (0;1]
      Khi x \to 0 : \dfrac{sinx}{x^2} \sim \dfrac{1}{x}
      Từ đó, theo tiêu chuẩn so sánh em có kết luận trên.

  13. hien
    01/01/2011 lúc 08:56

    giải giúp e bài này với
    P(x) la một đa thức bậc lớn hơn 2
    c/m rằng tích phân từ 1 đến dương vô cùng của (P(x)/P(x bình phương)
    dx hội tụ

    • 02/01/2011 lúc 21:36

      Giả sử P(x) là đa thức bậc n (n > 2). Thì
      P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0
      Khi đó, xét tích phân: \int\limits_1^{\infty} \dfrac{P(x)}{P(x^2)} dx
      Để tích phân này là tích phân suy rộng loại 1 thì P(x), P(x^2) phải là hàm khả vi trên mọi đoạn [1; A] (A > 1). Như vậy, P(x^2) phải không có nghiệm trên mọi đoạn [1;A] (nếu không thì tích phân sẽ vừa là tp suy rộng loại 1, vừa là tp suy rộng loại 2). (*)
      Ví dụ: \int\limits_{1}^{+\infty} \dfrac{x^3-64}{x^6-64} dx sẽ gián đoạn tại x = 2.
      Nếu thỏa mãn điều kiện (*) thì, khi x \to \infty
      P(x) \sim a_nx^n , P(x^2) \sim a_nx^{2n} \Rightarrow \dfrac{P(x)}{P(x^2)} \sim \dfrac{1}{x^n}
      Từ đó theo tiêu chuẩn so sánh, em sẽ kết luận được tích phân hội tụ.

  14. hien
    03/01/2011 lúc 19:58

    em cảm ơn ạ.em hỏi chút nữa
    \int\limits_0^{+\infty} \dfrac{ln(x)}{1+x^2} dx khi tách thành 2 tích phân. \int\limits_1^{+\infty} f(x) dx tại sao cách so sánh ln(x) < x suy ra tích phân đó nhỏ hơn tích phân \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^2} dx lại sai vậy ạ.

    • 03/01/2011 lúc 22:01

      Nếu em so sánh:
      \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{lnx}{1+x^2} dx \le \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{xdx}{x^2} thì không sai, nhưng vì tích phân \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{xdx}{x^2} = \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x} là tích phân phân kỳ nên không thể kết luận được sự hội tụ của tích phân \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{lnx}{1+x^2} dx (do một tích phân nhỏ hơn tích phân phân kỳ có thể là tích phân phân kỳ, nhưng cũng có thể là tích phân hội tụ).

  15. hien
    04/01/2011 lúc 18:12

    thầy ơi,mai em thi rùi nhưng e thấy phần tích phân mơ hồ lắm.e học lí nên không được biết nhiều về toán như các bạn.thầy có thể nói cho em biết kinh nghiệm khi nhìn thấy một câu tích phân không thầy.mong thầy hồi âm sớm

  16. 06/01/2011 lúc 11:34

    Theo em chỉ được viết tương đương khi thay các giá trị gần đúng.

    • 06/01/2011 lúc 13:01

      Khái niệm tương đương không chỉ giới hạn ở việc tương đương về giá trị mà còn có thể tương đương về tính chất. Ví dụ: hai ma trận tương đương. Do đó, với tích phân suy rộng, khái niệm 2 tích phân tương đương nghĩa là 2 tích phân cùng hội tụ (hoặc cùng phân kỳ), chứ không phải chỉ 2 tích phân có giá trị gần bằng nhau.

Comment pages
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: