Tích phân suy rộng (Improper Integrals)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

\mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \int\limits_a^b {f(x)dx: = } \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ: \int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} là hội tụ; \int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{x}} là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1. \int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_1^b{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to \infty}\left(\left.{arctanx}\right|_{x=1}^b\right)=\lim\limits_{b \to +\infty} \left(arctanb - \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}

2. \int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_{1}^{b}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \left. {lnx}\right|_{x=1}^b = \lim\limits_{b \to +\infty} lnb = +\infty .

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng: I = \int\limits_0^{\infty} t.e^{-2t} dt

Ta có: I = \lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_0^{b} t.e^{-2t} dt (*)

- Trước tiên,  Tính tích phân: \int\limits_0^b t.e^{-2t} dt

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

\int\limits_0^b t.e^{-2t} dt = \left( -\dfrac{1}{2}t.e^{-2t} -\dfrac{1}{4}e^{-2t} \right)_{t=0}^b = \left(-\dfrac{1}{2}b.e^{-2b} -\dfrac{1}{4}e^{-2b} + \dfrac{1}{4}\right)

Thế vào (*) ta có:

I = -\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left((2b-1)e^{-2b} -1 \right) = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left( \dfrac{2b-1}{e^{2b}}\right) = \dfrac{1}{4}

(do \lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2b-1}{e^{2b}} \underset{=}{L'H} \lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2}{2e^{2b}} = 0 )

Vậy: I hội tụ và I = \dfrac{1}{4}

1.2 Định nghĩa:

\int\limits_{ - \infty }^c {f(x)dx} : = \mathop {\lim }\limits_{d \to  - \infty } \int\limits_d^c {f(x)dx}

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: \mathop\int\limits_a^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{{x^s }}}} {\rm{ a > 0 ; }}{\rm{ s > 0}}

Nếu s \rm{ > 1} thì tích phân hội tụ.

Nếu s \le 1 thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có: \mathop\int\limits_a^{+\infty}{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}\int\limits_a^c{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1 - s}} \left[ {\dfrac{1}{{{x^{s - 1}}}}} \right]_{x=a}^c

Với s > 1. Khi đó:

\lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1-s}} \left(\dfrac{1}{c^{s-1}} - \dfrac{1}{a^{s-1}}\right) = \dfrac{1}{1-s}\left({0- \dfrac{1}{a^{s-1}}}\right) = \dfrac{1}{s-1}.{\dfrac{1}{a^{s-1}}}

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s < 1:

\lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1-s}}\left({\dfrac{1}{c^{s-1}}}-{\dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)= \lim\limits_{c \to +\infty}\left[{\dfrac{1}{1-s}}\left({c^{1-s}- \dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)\right]= + \infty (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:

  1. Nếu \int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx} hội tụ thì tích phân \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} hội tụ
  2. Nếu \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} phân kỳ thì tích phân \int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx} phân kỳ.

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).

Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = k (0 \rm{< k} \rm{< +\infty} ) thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nhận xét:

- Để xét sự hội tụ của tích phân \int\limits_a^{+\infty} f(x) dx , ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1 . Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).

1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

\int\limits_2^{+\infty}{\dfrac{dx}{lnx}} .

Rõ ràng: hàm f(x) = \dfrac{1}{lnx} là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc [2,+{\infty}) .

Khi x \to +{\infty} : lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.

Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:

\rm{lnx < } x , \forall x \ge 1

Vậy:

\int\limits_2^{+{\infty}}\dfrac{dx}{lnx} \ge \int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x}

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân \int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x} phân kỳ).

Ví dụ 3

\int\limits_{1}^{+{\infty}}{\dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}}}dx . $latex $

Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy:

Khi x \to {\infty}

{\sqrt{1+x}} \sim x^{\frac{1}{2}} , {\sqrt[3]{1+x^2}} \sim x^{\frac{2}{3}}

Vậy:

f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}} \sim \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} = g(x)

Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên [1;+∞) nên \int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \int\limits_1^{+\infty} g(x) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác: \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} dx hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

I_4=\int\limits_0^{+\infty}{\dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2}} dx . $latex $

Khi x \to +\infty ta có:

f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} \sim \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2} = \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = g(x)

Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi x \ge 0 , còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

I_4 = \int\limits_0^{1} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx + \int\limits_1^{\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx

- Do \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} xác định và liên tục trên [0;1] nên \int\limits_0^1 \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx là tích phân xác định nên hội tụ.

- \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx \sim \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{5/3}} nên hội tụ.

Vậy tích phân I4 hội tụ.

Trang: 1 2 3

  1. 29/12/2007 lúc 17:14

    theo em thì tích phân suy rộng phần tính toán cũng không có ghì mới , bởi phương pháp thì ta bê toàn bộ phương pháp của tích phân xác định sang , nhưng ở đây chỉ khó là xét tính hội tụ , nếu như ta biết trước là nó hội tụ hay phân kì thì sẽ có hướng áp dụng các phương pháp so sánh cũng như dỉichlet va abel , vậy làm thế nào để nhận dạng được một tích phân suy rộng hội tụ hay phân kì , mà chỉ cần nhìn vào đề bài, hay nói cách khác là đặc điểm của một tich phân suy rộng hội tụ nó nổi bật ở chỗ nào so với phân kì

  2. 29/12/2007 lúc 19:44

    Đúng như em nói có những tích phân suy rộng nếu tính trực tiếp được kết quả thì chẳng có gì để nói, đáng bàn là những tích phân không thể tính được bằng các hàm sơ cấp. Vậy thì làm cách nào ta biết được tích phân đó có hội tụ hay không mới là mấu chốt của vấn đề.
    Tuy nhiên, điểm hay ở đây là em phải có những kỹ thuật để nhận dạng chứ nếu nhìn vào tích phân mà biết ngay nó hội tụ hay phân kỳ thì chán lắm, phải không?
    Còn về kỹ thuật có thể nói “làm nhiều quen tay”, ta chú ý đến dấu hiệu so sánh 2 để xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x) vì khi đó giới hạn của f(x)/g(x) sẽ bằng 1. Và khi đó hai hàm có cùng tính chất. Mà muốn xây dựng hàm g(x) tương đương thì phải thay thế các VCB, VCL có trong f(x) bằng các VCB , VCL tương đương. Lúc đó hàm g(x) chắc chắn sẽ có dạng:\dfrac{1}{x^s} và tùy vào loại tích phân đang xét ta sẽ có kết luận.
    Có lẽ, để nhìn ngay được thì chỉ có cách này.
    Nếu trường hợp không thể thay thế các VCB, VCL để xây dựng hàm g(x) được thì ta sẽ chú ý đến các dấu hiệu của định lý Dirichlet và Abel. Còn cuối cùng, nếu vẫn không sử dụng được Dirichlet và Abel thì phải tìm cách chặn bất đẵng thức để sử dụng dấu hệu so sánh 1.
    Chỉ bằng các cách trên (nhất là xây dựng hàm tương đương) mới có thể nhận biết “thằng” nào là hội tụ, “thằng” nào là phân kỳ chứ không thể nhìn vào thấy ngay được. Bởi nếu nhìn vào “thấy” ngay được thì còn gì là vẻ đẹp của Toán học nữa!?

    Tuy nhiên, nếu làm nhiều, “level” sẽ lên cao và ta cũng có thể dễ dàng biết hàm f(x) tương đương với hàm g(x) nào. Và từ g(x) ta biết ngay tích phân hội tụ hay phân kỳ.

  3. nguyen the vinh
    14/12/2008 lúc 18:03

    Bạn nào giúp mình bài tích phân này với, đề bài là:
    \int { \dfrac{x}{(1-x^3).{\sqrt{1-x^2}}}} \, dx

  4. kiến
    14/12/2008 lúc 21:16

    thầy cho em hỏi trong bài tập 2 câu 6 của thầy thì khi dùng tương đương vô cùng bé của f(x) ta lấy số mũ bé nhất thì tại sao ta không lấy x^0( hằng số không chứa x) . Nếu lấy x^0 thì bài toán trên là hội tụ

  5. 14/12/2008 lúc 21:24

    Em cần xem lại khái niệm VCB. Khái niệm này phải gắn liền với 1 quá trình x \to x_0 , a(x) là VCB (khi x \to x_0 ) nếu: \lim\limits_{x \to x_0} a(x) = 0 . Do vậy 1 không phải là VCB. Do đó: sinx \sim x \Leftrightarrow x \to 0 chứ không có sinx \sim x ( x \to a) , a \ne 0
    Cũng vậy x^2 - 3x + 2 là VCB khi x \to 1 nhưng bản thân từng số hạng không phải là VCB

  6. thuythu
    19/12/2008 lúc 10:17

    thay oi co f(x) roi thi lam sao de chon g(x) sao cho minh de xet? thay co thu thuat nao khong bay cho em voi.cam on thay

  7. 2Bo02B
    19/12/2008 lúc 13:00

    em có thể xem lời nhắn sau để có thêm các thông tin:
    http://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-1/tp-suy-rong/#comment-1052

  8. 2bo02b
    19/12/2008 lúc 13:14

    Bài của bạn Vinh có thể dùng các cách sau:
    Cách 1: Đặt x = sint.
    Cách 2: Biến đổi mẫu số. Ta có:
    (1-x^3).{ \sqrt{1-x^2}} = (1-x)^2(1+x+x^2).{\sqrt{ \dfrac{1+x}{1-x}}}
    Khi đó đặt t = {\sqrt{ \dfrac{1+x}{1-x}}} ta sẽ đưa về được tích phân phân thức hữu tỷ.

  9. ho sy thanh
    20/12/2008 lúc 11:11

    cac tac gia co the cho nhieu vi du hon duoc khong,em thay vi du it qua that kho hieu????

  10. ho sy thanh
    20/12/2008 lúc 11:18

    Mot tich phan khi da hoi tu roi no co phan ki nua khong ha thay.Co nhieu bai em lam ra ket qua roi ma nhung thay no van cu sai.nhung khi giai lai thi ket qua khac. em that kho hieu. mong thay giai dap giup em .em cam on thay!!

  11. 2Bo02B
    20/12/2008 lúc 12:09

    Nếu F(X) = \int f(x) \, dx thì khi đó:
    \int\limits_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim\limits_{b \to \infty} { \int\limits_a^b f(x) \, dx}
    Mà giới hạn và tích phân xác định nếu có là duy nhất nên không thể có 1 tích phân vừa là tích phân phân kỳ (giá trị không tồn tại hoặc giá trị tiến đến vô cùng), vừa là tích phân hội tụ (giá trị tích phân là 1 hằng số hữu hạn)

  12. hosythanh
    23/12/2008 lúc 08:17

    Tich phan suy rong hien tai co bao nhieu cach giai,cac dang cua no ra sao ha thay?

  13. hosythanh
    23/12/2008 lúc 10:12

    Doi voi dang tich phan suy rong loai2 co bao nhieu cach de giai mot cau tich phan ha thay?

  14. 2Bo02B
    24/12/2008 lúc 08:33

    Để giải tích phân suy rộng ta có các cách sau:
    1. Dùng định nghĩa, tính trực tiếp tích phân thông qua các hàm sơ cấp.
    2. Dùng dấu hiệu so sánh 1 (cái này cần phải thực hiện chặn bằng các bất đẳng thức).
    3. Dùng dấu hiệu so sánh 2, nhất là dấu hiệu tương đương để xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x).
    4. Dùng dấu hiệu Cauchy, Dirichlet, hoặc Abel (thường dành cho SV chuyên ngành Toán).

  15. nguyen van thang
    24/12/2008 lúc 09:19

    thay cho em hoi :theo bai giang cua thay o muc tieu chuan hoi tu _dinh li so sanh 2 ,thi k=vo cung khi do tich phan suy rong cua f(x)hoi tu thi tich phan suy rong cua g(x) hoi tu .Vay khi k=vo cung ,tich phan suy rong cua g(x) phan ki thi tich phan suy rong cua f(x) co phan ki khong ?

  16. 2Bo02B
    24/12/2008 lúc 13:35

    Dĩ nhiên là ta có kết quả trên.

Comment pages
1 2 3 8
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: