Ma trận bậc thang (Echelon matrix)

I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:

Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)

1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: d_i \rightarrow a.d_i thành

2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: d_i \rightarrow d_i + a.d_j

3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu: d_i \leftrightarrow d_j

Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu: c_i \rightarrow a.c_i

2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu: c_i \rightarrow c_i + a.c_j

3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu: c_i \leftrightarrow c_j

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Định nghĩa:

1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.

2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.

4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:

Ma tr�n b�c thang dòng

Ma trận bậc thang dòng

Ma tr�n b�c thang cột

Ma trận bậc thang cột

Ví dụ minh họa:

Xét : A = \left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right]

thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.

Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi d_5 \leftrightarrow d_5 - { \dfrac{1}{5}} d_4 ta có:

\left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right]

Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)

  1. panda
    25/09/2008 lúc 10:31

    thưa thầy, thầy có viết thêm về ma trận dạng bậc thang tối giản không ạ?
    cảm ơn thầy

  2. 25/09/2008 lúc 12:38

    Bài viết chưa xong em à. Bữa giờ, bận quá, không có thời gian post bài. Thầy sẽ cố gắng đưa lên sớm

  3. Phong
    02/10/2008 lúc 09:27

    Em khong hieu ve bac thang toi gian,cach dua ma tran bac 2 ve dang thu gon.Thay lam on chi em voi

  4. 04/11/2008 lúc 09:18

    em thưa thầy, thầy có thể post một số vài về không gian vectơ không ạ,nhất là những bài về hạng vecto và cách làm những bài tập chứng minh về hạng của hệ vectơ ạ.Em xin cảm ơn

  5. sang
    19/11/2008 lúc 13:14

    thua thay cho em hoi ve cach tinh cac bai toan ma tran tre may tinh ah.

  6. ngoc phu
    05/12/2008 lúc 19:35

    thưa thầy, thấy co thế post cho em một ít lý thuyết về dạng toàn phương không ạ,.

    • never_back_down
      24/07/2009 lúc 06:13

      dạng toàn phương là dạng j vậy cậu?

  7. dang chi bao
    12/12/2008 lúc 16:19

    Em không biết nguyên tắc thực hiện các phép biến đổi để đưa 1 ma trận bất kỳ về dạng bậc thang, em làm thì khác lời giải của thầy và của sách, mặc dù em vẫn dùng các phép biến đổi ma trận. Em mong Thầy giải thích, chỉ dẫn giúp em cách biến đổi.

    • never_back_down
      24/07/2009 lúc 06:12

      có rất nhiều cách để đưa về ma trận bậc thang. nhưng kết quả cuối cùng thì tích của các phần tử trên đường chéo của all các phương pháp đều bằng nhau

  8. Thơm
    31/12/2008 lúc 23:23

    “Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)”. Nói thế thì có những ma trận ko chuyển về dc dạng bậc thang đúng ko ạ? Thầy có thể đưa ra 1 VD cụ thể dc ko?
    Cảm ơn thầy nhiều!

    • 2Bo02B
      01/01/2009 lúc 17:13

      Em chú ý “Mọi ma trận có thể…” điều này có nghĩa là tất cả các ma trận đều đưa về dang ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Do đó, không thể có: “nói như thế thì có những ma trận ko chuyển về dạng bậc thang” như em nghĩ được.

  9. yourhoney
    10/02/2009 lúc 23:00

    trang web này hay quá mà hồi giờ ko thấy, mà nó của ai vậy

  10. ĐINH HOÀI PHƯƠNG
    17/03/2009 lúc 19:19

    Thầy ơi cho em hỏi: ý nghĩa của hạng ma trận và hạng hệ véctơ là gi? Có những dạng bài tập chính nào về hạng ma trận, hạng véctơ? Thầy nêu vắn tất phương pháp giải cho em nhe thay? Em cảm ơn thầy nhiều lắm.

    • never_back_down
      24/07/2009 lúc 06:09

      bọn mình học hạng vec tơ có rât nhiều ý nghĩa. nhưng theo mình thì cái quan trọng nhất là để giải hệ phương trình.hệ phương trình chúng thường giải thường sử dụng ma trận vuông. nhưng khi số hệ ít hơn só nghiệm ( hoạc ngược lại) thì dùng đến định nghĩa ma trận nghich đảo trái và phải. khi đó ý nghĩa rank rất quan trọng

  11. 10/06/2009 lúc 11:55

    1. Ở trường ĐHCN Tp.HCM các Thày cô giáo chỉ dạy về ma trận bậc thang nói chung mà không phân biệt ma trận bậc thang dòng, ma trận bậc thang cột. Thày cô chỉ đưa ra định nghĩa: “Ma trận bậc thang là ma trận mà phần tử khác không đầu tiên của dòng trên ở cột bên trái phần tử khác không đầu tiên ở dòng dưới”. Xin hỏi đưa ra khái niệm như vậy có đúng không ạ? Nếu không đúng, xin Thày đưa ra nhận xét?
    2. Về các phép biến đổi trên ma trận, Thày cô chỉ dạy biến đổi trên dòng (hàng) mà không thấy nói tới các phép biến đổi trên cột của ma trận. Như vậy có phải mâu thuẫn với bài giảng của Thày?
    Em xin chân thành cảm ơn những bài giảng của Thày!

    • 13/06/2009 lúc 17:58

      1. Ta cần phải xem trước đó, có quy ước gì không nữa. Ví dụ: nếu chưa học số phức, thì pt bậc 2 có delta âm sẽ vô nghiệm, nhưng nếu đã biết số phức rồi thì việc khẳng định pt bậc 2 luôn có nghiệm cũng không sai. Hay như trong ĐSTT ta biết chỉ có ma trận vuông mới có thể có ma trận nghịch đảo. Nhưng hiện giờ nếu có ai nói rằng mọi ma trận đều có thể có ma trận nghịch đảo cũng không sai vì đã có khái niệm ma trận nghịch đảo trái (ma trận nghịch đảo phải)….
      Với giáo trình của ĐHBK TpHCM của nhóm tác giả Ngô Thu Lương thì do đã quy ước chỉ xét các phép biến đổi sơ cấp (pbdsc) trên dòng nên ma trận bậc thang được ngầm hiểu là ma trận bậc thang dòng. Và do đó, có định nghĩa như em đã đề cập. Có lẽ trường em dạy theo giáo trình này.
      Còn các khái niệm ma trận bậc thang dòng (cột) được đề cập đến trong các giáo trình Đại số tuyến tính của nhóm tác giả Lê Thị Thiên Hương; trong giáo trình Linear Algebra của tác giả David A.SANTOS được hội đồng giáo dục của bang Philadelphia (Mỹ) chọn làm giáo trình chính kể từ ngày 3 tháng 3 năm 2004. Em có thể xem hình ảnh ma trận bậc thang cột:
      \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ \end{array} \right)
      Em có thể tìm kiếm thêm thông tin bằng cách tìm kiếm với từ khóa : “row-echelon form” “column-echelon form”
      2. Vì các phép biến đổi sơ cấp (pbdsc) trên dòng (hàng) và các pbdsc trên cột là tương đương (chỉ có thuật toán tìm ma trận nghịch đảo là hơi khác, còn việc giải hpt chỉ dùng pbdsc trên dòng) nên rất có thể khi bắt đầu học giáo viên đã quy ước chỉ nói đến pbdsc trên dòng.

  12. huy
    04/07/2009 lúc 18:06

    Cho phép biến đổi tuyến tính T:R³ -> R³ xác định như sau:
    Với mọi u=(x,y,z) € R³ ,T(u) = (2x-2y+6z ; x-y+3z ; 3x-3y+9z)
    a) Viết ma trận A của T đối với cơ sơ chính tắc E của R³.
    b) Tìm ảnh của véctơ u=(1,2,3) dựa vào ma trận A.
    Xin Thầy giảng giúp em cách làm bài này với. Em xin cảm ơn.

    • never_back_down
      24/07/2009 lúc 06:00

      a/ A có hàng lần lượt là 2, -2, +6
      1, -1, 3
      3, -3,9
      b/ ảnh của u chính là T(u) đó cậu Huy à.
      A*u = T(u)
      u ở đây là ma trận cộtt

  13. dac
    05/10/2009 lúc 08:34

    thầy ơi ,cho em hoi 1 ma trân có mấy dạng bậc thang ạh,co thể nhiều không.nếu nhiều thi hạng của 1 ma trận se khac nhau tùy cách biến đổi hả thầy

    • 05/10/2009 lúc 09:07

      Dạng bậc thang là duy nhất em à, chỉ có điều nếu dùng các pbdsc khác nhau thì các phần tử của ma trận bậc thang có thể khác nhau, nhưng nếu đưa về dạng bậc thang chính tắc thì đều như nhau. Vì vậy, hạng của ma trận sẽ là duy nhất, không phụ thuộc vào cách biến đổi.

  14. ngoc ha
    26/10/2009 lúc 16:12

    thầy ơi cho em hỏi tại sao tính định thức (bậc lớn hơn 3) thì khi dùng các phép biến đổi (vd như đổi chỗ hai dòng thì phải đổi dấu cho định thức) còn khi biến đổi ma trận thành dạng ma trận bậc thang khi đổi chỗ hai dòng lại không cần đổi dấu.
    EM CẢM ƠN THẦY

    • 26/10/2009 lúc 20:19

      Khi đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu là đó là kết quả được suy từ định nghĩa của định thức. Còn khi biến đổi ma trận thì đó là hai ma trận tương đương nhau về tính chất chứ không bằng nhau.

  15. Hanh Uyen
    30/10/2009 lúc 22:28

    Em muốn tìm các ứng dụng của ma trận nhưng sao không thấy

    • 31/10/2009 lúc 05:46

      Các ứng dụng của ma trận không được trình bày tập trung ở 1 bài, mà nó nằm khắp nơi trong các bài liên quan đến đại số tuyến tính em à.

  16. thephuong
    01/11/2009 lúc 20:27

    thầy ơi, em đang tìm các ứng dụng hạng của ma trận mà ko có.

Comment pages
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: