Ma trận bậc thang (Echelon matrix)

I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:

Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)

1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: d_i \rightarrow a.d_i thành

2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: d_i \rightarrow d_i + a.d_j

3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu: d_i \leftrightarrow d_j

Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu: c_i \rightarrow a.c_i

2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu: c_i \rightarrow c_i + a.c_j

3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu: c_i \leftrightarrow c_j

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Định nghĩa:

1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.

2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.

4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:

Ma tr�n b�c thang dòng

Ma trận bậc thang dòng

Ma tr�n b�c thang cột

Ma trận bậc thang cột

Ví dụ minh họa:

Xét : A = \left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right]

thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.

Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi d_5 \leftrightarrow d_5 - { \dfrac{1}{5}} d_4 ta có:

\left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right]

Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)

  1. thephuong
    01/11/2009 lúc 20:28

    Hạng của ma trận được ứng dụng để giải bài toán nào vậy thầy, thầy có thể cho em ví dụ được không?

    • 01/11/2009 lúc 22:45

      Ứng dụng đâu tiên là dùng để biệ luận nghiệm của hệ pt theo phương pháp Kronecker-Cappeli và pp Gauss đó em

  2. happylife
    06/11/2009 lúc 11:37

    Thầy ơi, tính hạng bằng phép biến đổi sơ cập là như thế nào, thầy làm 1 bài minh họa chi tiết dùm em, e cẳm ơn thầy

  3. nguyễn văn mão
    18/09/2010 lúc 20:45

    Em chào thầy!
    Thầy cho một ví dụ và giải một bài toán về tìm ma trận có chứa tham số.Em vẫn chưa hiểu về ma trận có chứa tham số.

  4. thanh
    24/10/2010 lúc 16:18

    Khó quá.

  5. 05/11/2010 lúc 16:27

    giup em giai bai nay voi thay oi!tim hang cua ma tran sau:
    a 1 1 1
    1 a 1 1
    1 1 a 1
    1 1 1 a
    em cam on thay nhieu!

  6. thu yen
    19/12/2010 lúc 19:42

    Trong trường hợp nào có thể nhân bên phải một ma trận dòng với 1 ma trận cột vậy ạ?

    • 20/12/2010 lúc 14:41

      Em xem phần định nghĩa phép nhân 2 ma trận nhé.
      Cho A là ma trận cấp mxn thì:
      – Ma trận tích A.B tồn tại khi B có cấp nxp. Nghĩa là A có n cột thì B phải có n dòng
      – Ma trận tích C.A tồn tại khi C có cấp qxm. Nghĩa là số cột của C phải bằng số dòng của A.

Comment pages
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: